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lagrange中值定理的初等证法

拉格朗日中值定理是中学生比较熟悉的一个定理，也是很多大学

生比较擅长的内容，它的简要描述如下：若在区间[a,b]上有f(x)连续

可导，若在[a,b]上存在一点c，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2,

那么称f在[a,b]上满足拉格朗日中值定理。

用初等证明方法来证明这个定理，可以从另外一个与之类似的数

学定理——拉格朗日抛物定理来推导出来，拉格朗日抛物定理的简要

描述如下：若在区间[a,b]内某函数的导数f’(x)有相同的符号，则在

[a,b]存在一点c，使得f(c)=(f(a)f(b))/(b-a)。

事实上，拉格朗日中值定理是由拉格朗日抛物定理推导而来的。

假设f‘(x)在区间[a,b]内都为正数，可将f(x)看成一个单调增功能，

此时f‘(x)最大值与f(x)最大值在相同的点处取得，即我们需要求解

的点c。根据拉格朗日抛物定理，当f‘(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)时，

有f(c)=(f(a)f(b))/(b-a)，而f(c)=(f(a)+f(b))/2，从而可以得到

2f‘(c)=f(b)-f(a),而这正是拉格朗日中值定理的内容。

从上面就可知，拉格朗日中值定理是在一定条件下，拉格朗日抛

物定理的简单推导结果。它表明，当函数及其导数都满足拉格朗日抛

物定理要求时，在[a,b]存在一点c，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2.因此，

有拉格朗日中值定理的准确性及其考虑的情况的完备性。