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⽐较⽤⾼斯定理和库仑定律求解静电场的优劣

电磁场研究性课题报告

研究题⽬：⽐较⽤⾼斯定理和库仑定律求解静电场的优劣。

1.应⽤库仑定律求解静电场

库伦定律是静电现象的基本实验定律，它表述为：真空中静⽌点电荷Q对另⼀静⽌点电荷Q的作⽤⼒是

rr

QQF3

04πε=

=

0ε8.854×10

-12

法／⽶，r

为Q到Q’的⽮量，两个电荷之间的

作⽤是通过电场来传递的，所谓电场是⼀个电荷Q周围空间存在着的⼀种特殊物质，另⼀电荷Q’处于该窄间内就受其作⼒．

由库伦定律可知，Q’所受的⼒与Q’成正⽐，我们⼀个正的单位试验电荷在电场中所受的⼒来定义试验电荷所在点的电场强度

E。

rr

QQFE3

04πε=

=

假若空问有多个点电荷，它们对电荷Q，的作⽤⼒经过实验证明符合线性叠加原理：

ii

ii

rrQQF

304πε∑

=

ir

是电荷iQ到Q⽮量．于是得到总电场E也其有叠加性：

ii

irrQE3

04πε∑

=

如果电荷是连续分布于区域V内．如图1，在V内某点P’取体积元dV’该处电荷密度为)(rρ,dV’所含电荷为)(dVrdQρ=，由

r’到观察点P的⽮量为R，R=r-r’,则P处电场强度为

=

3

04)()(R

dVRrrEπερ

所以，依据场强叠加原理计算场强主要分为两类：

第⼀类为点电荷体系．其表述为空间中有N个带电体，每⼀个带电体⾃⾝的限度远远⼩于到所讨论场点的距离，每⼀个带电体

都可以看成点电荷，这些点电荷的集合(相对于所讨论的场点)构成⼀点电荷体系．该点电荷体系在所讨论的场点单独存在时，

所激发的场强的⽮

量和为该点的合场强：∑

=

iEE。

第⼆类为电荷连续分布，带电体相对于所讨论的场点已不能看成点电荷，但是每⼀个带电体可以看成由⽆数微元⼀⼀点电荷

(相对于

场点)叠加⽽成．该微元所带电量为dq，产⽣电场Ed

，该带电体在

场点的场强为?=EdE

。

举例分析：

⽆限⼤平⾯均匀带电，电荷⾯密度为0σ。试求它在空问产⽣的电场。

解：分两步。先⽤电场迭加原理求出⽆限长直均匀带电线产⽣的电场。假定线电荷密度为0λ。

设置直⾓坐标系，使z轴与⽆限长直带电线重合(图2)。不失⼀般性，我们在y轴上选择场点P。

在dzzz+→之间取⼀电荷元dq，dzdq0λ=，它在P点产⽣电场

()2

2

04/z

y

dzdE+=πε

λ

考虑⽅向性

以及电场迭加原理

(5)

再将⽆限⼤均匀带电平⾯分割，看成是由⽆限多⽆限长均匀带电

直线的集合。

⽆限⼤均匀带电平⾯放置在xoy平⾯，在dxxx+→处取⼀⽆限狭窄长条(图3)。根据(5)式，可知该长条在z轴上的P点产⽣电

场

2

20

02/z

xdxdE+=πε

σ。

写成⽮量形式，dE可表⽰为两个分量。⼀个分量沿z轴，另⼀个电场垂直于=轴。

有

代⼊

以⽮量形式表⽰

当P点不固定于y轴，那么

考虑电场的迭加原理，对称性使垂直于z轴的分量消失，只留下沿z轴⽅向的分量

写成⽮量式

(6)式中的P点不⼀定局限于z轴上。

2.应⽤⾼斯定理求解静电场

应⽤⾼斯定理求场强分布的关键是分析对称性，选择合适的⾼斯⾯。

⾼斯定理的数学表达式为：

这⾥．S是任意形状的闭合曲⾯，∑q是S所包围的电荷的代数和。

⼀般情况下，⽤上式不能把电场中各点的场强E确定下来，但当激发电场的电荷分布具有某种特殊的对称性，从⽽周围电场的

分布也具有相应的对称性时，可⽤⾼斯定理可求场强分布，⽽且⽐⽤场强叠加原理要简便得多。因为电场具有对称分布时，可

选取适当的⾼斯⾯，使⾯上E的⼤⼩相等，0为定值，便于将E从积分号内提出，使计算简化。因此应⽤⾼斯定理求场强分布的

关键，⾸先在于分析电荷和电

场分布的对称性。⼀般可以分为两种情况：电荷分布在有限⼤⼩的物体上，但该物体具有某种对称性；电荷分布具有⽆限⼤、

⽆限长的特点，或经过简化处理后可视为⽆限⼤、⽆限长的分布。⽤⾼斯定理解前⾯列题。

解：⽆限⼤均匀带电平⾯放置在z=0处，如图6。

取柱体表⾯作为⾼斯⾯，其侧⾯与带电平⾯垂直。两底⾯与带电

平⾯平⾏，且关于带电平⾯对称。

=?+

+

=2

3

1

2SSSS

SESdESdESdESdE

⼜Sq?=∑00/σε002/εσ=∴E

写成⽮量式

00003/2/εσεσzzeeE

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