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2.4圆周角

【推本溯源】

1.回顾一下圆心角的概念，那圆周角的概念是？

圆心角：顶点在圆心；

圆周角：顶点在圆周上。

圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角两个条件：（1）顶点在圆上；（2）两边都与圆相交。

圆心角圆周角

区别

联系

如图，BC所对的圆周角有：∠BDC，∠BAC

AD所对的圆周角有：∠ABD，∠ACD

2.如图，∠BOC=90°，那么∠BAC=45°.

根据求出的角度，判断∠BOC与∠BAC的数量关系。

∠BOC=2∠BAC

证：∵OA=OC

∴∠A=∠C

∵∠BOC=∠A+∠C

∴∠BOC=2∠BAC

如右图，∠AOB=2∠ACB吗？

证：连接OC，与圆O交于点D。

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO

∵∠AOD=∠A+∠ACO

∴∠AOD=2∠ACO

同理可得∠BOD=2∠BCO

∴∠AOB=2（∠ACO+∠BCO）=2∠ACB

因此，圆周角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半。

那∠ACB与∠AEB之间什么关系？

∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB=2∠AEB

∴∠ACB=∠AEB

因此，同弧或等弧所对的圆周角相等

3.（1）如图，BC是直径，圆周角∠BAC为多少度？

1

∠BAC=2∠BOC=90°

（2）如图，圆心角∠BAC=90°，如果连接BC，，BC过圆心吗？

连接OB，OC

∵∠BAC=90°

∴∠BOC=180°

∴B、O、C三点共线

∴BC过圆心，BC是直径

因此，直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

几何语言：∵BC是直径几何语言：∵∠BAC=90°

∴∠BAC=90°∴BC是直径

4.一个三角形的3个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫圆的内

接三角形；那一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四

边形叫？

圆的内接四边形。

圆的内接四边形定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，

这个四边形叫做圆的内接四边形。

如右图，四边形ABCD是圆的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆。

那在右图中，∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系是？

11

连接OB，OD.∵∠A=2∠1，∠C=2∠2，并且∠1+∠2=360°

∴∠A+∠C=180°

因此，圆内接四边形的对角互补。

延长BC至点E，∠DCE与∠A之间的关系是？

∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°

∴∠DCE=∠A

因此，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

【解惑】

OAOC60

如图，是直径，，则为（）

1ABD

例：

A．60B．50C．40D．30

【答案】D

1

【分析】根据圆周角定理得出DAOC解答即可．

2



【详解】解：∵对的圆心角是AOC，对的圆周角是D，

AC

11

∴DAOC6030，

22

D

故选：．

【点睛】本题考查了圆周角定理，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半．

ABCDO,AC,BDOBAC40

如图，四边形内接于