2.5直线与圆的位置关系（解析版）.pdfVIP

2.5直线与圆的位置关系

【推本溯源】

1.回顾一下点与圆的位置关系，那么直线与圆有几种关系呢？

点在圆内，点在圆上，点在圆外；

直线与圆的位置关系：

（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直

线和圆相交．这时直线叫做圆的割线（如右图l）；

1

2.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直

线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公

共点叫做切点；（如右图l）．

2

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线

和圆相离。（如右图l）

3

2.点与圆的位置关系我们是用点到圆心距离与半径比较，那直线与圆的位置关

系怎么表示出来？

设圆心到直线的距离为r

当d＜r时，相交；

当d=r时，相切；

当d＞r时，相离。

同样地，当相交时，d＜r；当相切时，d=r；当相离时，d＞r。

3.如右图，经过圆O的半径OD外端点D，作直线l⊥OD，直线l与圆O是怎样

的关系？

∵l⊥OD∴OD=r∴直线与l相切

因此，经过半径外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。

；。

注：①直线与圆有一个交点②直线与过交点的半径垂直

几何语言：∵l⊥OD，OD是半径∴直线与l相切

4.如图，直线l是圆O的切线，切点为D，直线l与半径OD有怎样

的关系？

l⊥OD

用反证法；假设l与OD不垂直，过圆心O作OD′⊥l，垂足为D′

∵直线l是圆O的切线

∴点O到直线l的距离等于半径

∵点D′在圆上，这样切线会和圆有两个交点，与题目相切矛盾

∴l⊥OD

因此，圆的切线垂直于经过切点的半径。

5.（1）做一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？

根据在角得内部到角两边距离相等得点在角得平分线上

可得圆心O是三个内角平分线得交点。

（2）画出右图▲ABC里面最大的圆

因此，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是三

角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相

等.这个三角形是圆的外切三角形。

如图：▲ABC的面积、周长与内切圆半径之间的关系是？

111

∵SABr，SACr，SBCr

AOBAOCBOC

222

1

SABCSAOBSAOCSBOCr(ABACBC)

2

1

rC

ABC

2

因此，三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径之积的一半。

6.如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B.PA与PB相等吗？

PA=PB

∵PA、PB是圆O的切线

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠PAO=∠PBO=90°

在RtAOP和RtBOP中，∠PAO∠PBO90°

OAOB



OPOP

RtAOP≌RtBOP（HL）

∴PA=PB

在经过圆外一点作圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切

线长.

因此，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连

线平分两条切线的夹角.

几何语言：∵PA、PB是圆O的切线∴PA=PB

【解惑】

OO3cm3cm

已知平面内有与直线，的半径为，点O到直线的距离为，

1AB