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拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用

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高等数学在经济研究中应用越来越广泛，推动了经济学的快速发展。结合实

例，对拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用进行探讨与研究。

在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法是以数学家约瑟夫?路易斯?拉格朗日命

名一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

一、拉格朗日乘数法

设二元函数f(x，y)和,渍(x，y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z=f(x，

y)在D内满足条件,渍(x，y)=0的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数L(x，y，

λ)=f(x，y)+λ,渍(x，y)(其中λ为某一常数)的无条件极值问题。

于是，求函数z=f(x，y)在条件,渍(x，y)=0的极值的拉格朗日乘数法的基本

步骤为:

(1)构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=f(x，y)+λ,渍(x，y)其中λ为某一常数;

(2)由方程组Lx=fx(x，y)+λ,渍x(x，y)=0Ly=fy(x，y)+λ,渍y(x，

y)=0Lλ=,渍(x，y)=0

解出x，y，λ，其中x，y就是所求条件极值的可能的极值点。

拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。拉格朗日乘

数法只给出函数取极值的必要条件，因此

按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论。不过在实际问题

中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点(或最值点)。由于

在经济学中都是具体的实际问题，比如，求产量最高、利润最大等，它们的最值是

否存在是一目了然的，所以拉格朗日乘数法在经济最优化中有着广泛的应用。

二、拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用实例

实例1现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f(x，

y)=100x3/4y1/4，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元。该制造

商的总预算是50000元。问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生

产量最高。

解这是个条件极值问题，求函数f(x，y)

=100x3/4y1/4在条件150x+250y=50000下的最大值。令L(x，y，

λ)=100x3/4y1/4+

λ(50000-150x-250y)，由方程组

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Ly=25x3/4y-3/4-250λ=0Lλ=50000-150x-250y=0

中的第一个方程解得

λ=?x-1/4y1/4将其代入第二个方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在该式两边同乘x1/4y3/4有25x-125y=0即x=5y。将此结果代入方程组的第三

个方程得x=250，y=50，即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余得部分作为资

本投入，这时可获得最大产量f(250，50)=16719。

实例2设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为

p，销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。

根据市场预测，销售量与销售价格为p之间有下面的关系:

x=Me-ap(M0，a0)(1)

其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的

分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算:

c=c0-klnx(k0，x1)(2)

其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数.根据上述条件，应如何

确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润,

解设厂家获得的利润u，为每台电视机售价为p，每台生产成本为c，销售量

为x，则u=(p-c)x。于是问题化为利润函数u=(p-c)x在附加条件(1)、(2)下的极

值问题。利用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数:L(x，p，c，λ，μ)=(p-c)x+

λ(x-Me-ap)+μ(c-c0+klnx)。(下转74页)

(上接5页)

令Lx=(p-c)+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0。

将(1)代入(2)，得c=c0-k(lnM-ap)(3)

由(1)及Lp=0知λa=-1即λ=-1/a(4)

由Lc=0知x=μ即x/M=1。将(3)(4)(5)代入Lx=0，得p-c0+k(l