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拉格朗日

Joseph-LouisLagrange

(1736~1813)

据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家F.A.雷维里（R-evelli）指导下学几何学后，萌发了他

的数学天才。17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766年以前）、柏林时期（1766—1786）、巴

黎时期（1787—1813）。

拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。

全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。

拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以

欧洲大陆为中心；物理学了主流是力学；天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数

学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：

数学分析的开拓者

1．变分法这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。他的第一篇论文“极大

和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕；1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作。

发表前写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法”。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”。变分法这个分支才真正

建立起来。

2．微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果。他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非

齐次线性变系数方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。在柏林期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于

微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原

方程积分曲线族的包络线。当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G.达布等人完成的。除此之外，他还是一阶偏微分方程理论

的建立者。

3．方程论拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。

他把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。拉格朗日的想

法已蕴含了置换群的概念，他的思想为后来的N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问

题.此外,他还提出了一种格朗日极数.

4.数论著拉格朗日在1772年把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。后来还证明了

著名的定理：n是质数的充要条件为（n-1）!+1能被n整除。

5．函数和无穷级数同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数同是多项式的推广。泰勒级数中的

拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一。

分析力学的创立者

拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法。

天体力学的奠基者

首先在建立天体运动方程上，他用他在分析力学中的原理，建议起各类天体的运动方程。其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异

法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛作用。在天体运动方程解法中，拉格朗日

的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。

总之，拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献。但主要是数学家，他最突出的贡献是在

把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用。使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学

分析上也起了历史性的作用，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展。由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多成果。