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乐山师范学院毕业论文（设计）

微分中值定理的推广及简单应用

冯文兵

数学与信息科学学院数学与应用数学

【摘要】微分中值定理的应用十分广泛,本文将较系统的对Roll中值定理、Lagrange

中值定理以及Cauchy中值定理各自加以推广,并对“f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间

,,

(a,b)内可导”条件弱化为“x(a,b),f(a,b)与f(a,b)存在”的微分中值定理进行了



简单的论证。最后从微分中值定理及其推广中总结出一些解题方法。

【关键词】微分中值定理Roll中值定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理

1引言

Roll定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理统称为微分中值定理,它们是

微分学中最基本、最重要的定理,是连接函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的

局部性研究函数整体性的重要数学工具。

Roll定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续,在开区间(a,b)内可导，在







区间端点处的函数值相等,即fafb,那么在(a，b)内至少有一点,fx0

Lagrange中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续,在开区间(a，b)

f(b)f(a)

f(x)

内可导,那么在(a，b)内至少有一点,使得。

ba

Cauchy中值定理：如果函数f(x)及g(x)在闭区间[a，b]上都连续,在开区间(a,b)内都可



f()f(b)f(a)

f(x)与g(x)不同时为0

（a,b）

导,,g(a)g(b)则存在,使得。



g()g(b)g(a)

2微分中值定理推广

为加深学生对微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的应用,下面

归纳介绍了微分中值定理的几种推广形式。



fx