数学优化训练：3向量的减法.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2。1。3向量的减法

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1.下面给出了四个式子,其中值为0的有(）

①++②+++③-+—④++-

A。①②B.①③C。①③④D。①②③

解析：①中，++=+=0；②中，+++=(+)+(+）=+0=；③中，(—)+（-)=+=0;④中，（+）+（—）=+=0。

答案：C

2.如图2-1-12,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心，其中=a，=b，=c，则等于（)

图2—1—12

A。a+bB.b-aC。c—bD。b—c

解析：==b—c。

答案:D

3。若=a，则=_______________.

答案：—a

4。化简：--=_______________.

解析：--=-=。

答案：

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.下列命题中，正确命题的个数为()

①｜a｜+|b|=｜a+b｜a与b方向相同②｜a|+｜b|=|a—b｜a与b方向相反③|a+b|=｜a-b｜a与b有相等的模④｜a|—｜b｜=|a—b|a与b方向相同

A。0B.1C.2

解析:当向量共线时，向量加法的平行四边形法则不适用，可考虑应用向量加法的三角形法则，其中①②是正确的;③由向量加减法的几何意义知|a+b｜=｜a—b｜等价于以a、b为邻边的平行四边形的对角线相等,即为矩形,此时a与b垂直，但a与b的模不一定相等;④错在｜a|-｜b｜不知符号正负，而|a—b|一定大于等于0，故不一定成立.

答案：C

2。下列等式中，正确的个数为（）

①0-a=—a②—（-a)=a③a+（—a)=0④a+0=a⑤a—b=a+(—b）⑥a—（-a)=0

A。3B.4C

解析：①②③④⑤正确，⑥错误.

答案：C

3.如图2-1-13所示，D、E是△ABC中AB、AC边中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、和。

图2-1-13

解：由三角形中位线定理知DEBC，故=，即=a.

=++=—a+b+a=a+b。

=++=++=a-b+a=a—b。

4。如图2—1—14所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF—等于(）

图2—1—14

A。B。C.D。

解析：由图可知=，则-=-=。又由三角形中位线定理知=。

答案：D

5。若｜|=8，||=5，则|｜的取值范围是_______________.

解析：由题中所给向量之间的关系=—，再根据向量不等式｜|a|-｜b｜|≤｜a±b|≤|a+b|，问题迎刃而解.

即｜||-||｜≤｜｜=｜—|≤||+|｜.

∴3≤｜｜≤13.

答案：[3，13］

6.已知两个向量a和b,求证:若｜a+b|=｜a-b｜，则a的方向与b的方向垂直；反之也成立。

证明：①如图所示.若a与b方向垂直,设=a，=b，

∵a与b方向垂直,

∴OA⊥OB.以OA、OB为邻边作矩形OACB，

则|a+b｜=｜｜,|a—b|=|｜,

∵AOBC为矩形，

∴|｜=|｜。∴｜a+b|=｜a—b｜.

②反之,若|a+b|=|a-b|，设=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB，则|a+b|=||,|a-b|=｜|，又|a+b|=|a—b｜，

∴||=|｜，即平行四边形OACB对角线相等.

∴平行四边形OACB为矩形.

∴a的方向与b的方向垂直.

30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）

1。若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且=a，=b，用a、b表示向量为()

A.a+bB.-a-bC。—a+bD.a—b

解析：由平行四边形对角线互相平分的性质知=-，即=—a,=-=—a—b。

答案：B

2.对于任意向量a，b,恒有（）

A.｜a+b|=｜a｜+|b|B。｜a-b|=|a|—｜b|

C。|a-b|≤|a|+|b|