数学优化训练：7柱、锥、台和球的体积.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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1。1。7柱、锥、台和球的体积

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1。充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞艇,若要它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积应增大到原来的（）

A。4倍B。8倍C.64倍D。16倍

解析：设气球原来半径为R，则现在半径为4R，此时体积V=π(4R）3=64×。故选C。

答案:C

2.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为2a,对角线长为,则这个圆台的体积是（）

A.B.

C.D.

解:由AD=a,AB=2a，BD=a知∠ADB=90°，分别过D点、C点作DH⊥AB,CG⊥AB。知DH=a，∴HB=.∴DE=HF=a。

∴V圆台=(a2+a2+a2)·.

答案：D

3.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积的比值为______________。

解析：代入圆柱和球的体积公式求比即可。

设球的半径为r，则圆柱的底面半径是r，高是2r，∴V球=πr3，V柱=πr2·2r=2πr3.

∴V柱∶V球=2πr3∶πr3=3∶2.

答案：3∶2

10分钟训练(强化类训练，可用于课中）

1。已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于(）

A.B。C.D.

解：设正方体的棱长为x，则正方体的对角线长为，由题设有，解得x=。所以选D。

答案：D

2.半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是（）

A。B.C。D。

解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=l=π·R。

∴r=R。

∴圆锥的高h=。

∴V锥=πr2·h=··。

答案：A

3。表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（)

A.πB.C。D。

解：正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×知a=1.则此球的直径为2，故选A.

答案：A

4.如图1—1-7—1，在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1、S2，则必有(）

图1-1-7—1

A.S1〈S2B.S1〉S2

C。S1=S2D。S1、S2的大小关系不能确定

解：连结OA、OB、OC、OD,则VA—BEFD=VO—ABD+VO—ABE+VO—BEFD,

VA—EFC=VO—ADC+VO—AEC+VO—EFC。

又VA—BEFD=VA—EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,

故S△ABD+S△ABE+S四边形BEFD=S△ADC+S△AEC+S△EFC

又面AEF公共，故选C。

答案：C

5.正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使B、C、D重合于一点P，得到一个三棱锥如图1—1—7-2.求此三棱锥的体积。

图1—1—7—2

解:∵∠D=∠C=∠B=90°，∴翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°。

∴Rt△PEF可以看作底面，而AP可以看作是高.比较发现：AP=1，PE⊥PF，PE=PF=.

∴VA—PEF=S△PEF·AP=××××1=(立方单位)。

30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1。正方体形容器有相邻两面中心各有一小孔，则此封闭容器最多盛水量是正方体总容量的（)

A。B。C.D.

解析：设正方体棱长为2a，则最多盛水容积为(2a)3-a2·2a=7a3。又总容积为8a3.故选B。

答案:B

2.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为(）

A。1∶3∶4B。1∶3∶2

C.1∶2∶4