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人教版高中数学必修第三册全册教学课件

第七章三角函数7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广

1.角的概念的推广在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边，同时我们还知道，角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.例如，图7-1-1所示的大小为120°的角，用以前的观点来看，既可以认为是OA旋转到OB所形成的，也可以认为是OB旋转到OA所形成的。我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角(360°)的大小.

情境与问题如图7-1-2所示，当摩天轮在持续不断地转动时，(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°?(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗?如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗?从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗?

显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过360°.而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转.由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分.

由此就可以将角的概念进行推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边，射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角。这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角.

值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的，因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概念推广到了任意角.

作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，如图7-1-3(1)(2)表示的两个转角中，射线QA绕端点O旋转到OB时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知α=450°，β=－630°.

利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义.例如，对于60°＋90°来说，如图7-1-4(1)所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90°=150°

类似地，如图7-1-4(2)所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为－30°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°－30°=60°

2.象限角为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

例如，图7-1-5(1)中的45°，－315°，405°角都是第一象限角，图7-1-5(2)中的126°角是第_________象限角，210°角是第三象限角，－60°角是第__________象限角，－90°角不是象限角，其终边在y轴的负半轴上.二四

尝试与发现图7-1-5(1)中三个角的终边相同.那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢?一般地，角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍.因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k=0时对应元素为_________.α

典例精析如图7-1-6所示，已知角α的终边为射线OA，分别作出角α+90°，α－90°，α+180°的终边.解：由角的定义可知，把角α的终边OA逆时针方向旋转90°可得角α+90°的终边OB，把角α的终边OA顺时针方向旋转90°可得角α－90°的终边OC，把角α的终边OA逆时针方向旋转__________