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第一章绪论

1.1研究意义

微分中值定理是一系列定理的总称.这一系列定理是研究函数、函数的微分、

函数与其微分之间关系,不等式等数学问题的基础理论和有力工具；是微分学理

论的重要组成部分,在导数应用中起着桥梁作用,也是研究函数变化形态的纽带,

因而在经典分析学中占有很重要的地位.通过本论文主要讨论多元微分中值定

理的存在形式及其在数学理论证明和实际问题的数学描述与求解中的应用.因而

使多元实值函数、多元向量值函数的各微分中值定理的存在形式数学形式化、具

体化是具有数学理论价值和数学应用价值的.

1.2研究现状

对微分中值定理的研究,是伴随着微积分建立就开始了.1637年,著名法国数

学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理.教科书中通常将它称

为费马定理.1691年,法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的

罗尔定理.797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定

理,并给出最初的证明.以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一

组中值定理是整个微分学的理论基础,它们建立了函数值与导数值之间的定量联

系,中值定理的主要作用在于理论分析和证明.

我们国内对中值定理也有一定的研究,如唐伟国,唐仁献在文[1]中通过以微

分多项式表达式作为其应用,导出了拉格朗日中值定理与柯西中值定理的一种新

的推广形式.党艳霞在文[2]中从多角度阐述微分中值定理及其三个定理之间的关

系,并举例说明了微分中值定理的应用.邱召友在文[3]中通过讨论微分中值定理

在n维欧氏空间中的推广,将一元函数的微分中值定理推广到了多元函数及向量

值函数.

1.3研究内容

本论文主要是对微分中值定理的证明方法进行研究,同时给出多元微分中值

定理的数学证明形式,在文章中我们给出了微分中值定理的一种统一的证法和微

分中值定理的一种逆向分析证法.多元微分中值定理的数学证明形式中我们给出

了多元实值函数的微分中值定理形式的推导与证明以及多元向量值函数的微分

中值定理形式的推导和证明,讨论四个定理的推广形式,并给出其简单的证明.同

时本文还讨论了微分中值定理的内在联系；讨论定理的推广形式；讨论加强条件

之后的深层阐述.为了完成研究内容,实现研究目标,本论文共分五章阐述了整个

研究工作,具体如下,第一章中将本论文的研究意义、研究现状以及研究内容进行

整体的阐述.第二章中主要阐述了一元微分中值定理的研究,其中包括对Rolle定

理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的阐述,以及Taylor公式的定义.同时

将各定理之间的关系进一步进行研究.第三章主要是对多元微分中值定理的研究,

其中包括多元实值函数微分中值定理和多元向量值微分中值定理.第四章主要是

一些多元微分中值定理的应用实例.第五章主要是对本文研究内容的一个总结.

第二章一元微分中值定理

2.1微分中值定理的基本内容

微分中值定理是反映导数值与函数值之间联系的三个定理,它们分别是罗尔

定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下:

[4]

定理2.1.1（罗尔定理）





fxa,b

设函数在闭区间a,b上连续,在开区间上可导,且fafb,则





至少存在一点a,b,使得





f0

[4]

定理2.1.2（拉格朗日定理）





设函数fx在闭区间a,b上