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本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究。

数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的极为有效的科学方法。了解数学归纳法的发现

和发展的历史，明确数学归纳法与归纳法的区别与联系，是教师教授和学生掌握数学归纳法

的基础。对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是教师进行数学归纳法教学的前提，也

是学生能否掌握这种证明方法的关键。

数学归纳法的教学首先是一种程序性教学。为了让学生能够正确应用数学归纳法，还要

进行形式化教学。在形式化现象下的本质规律的教学，即内涵教学，则是数学归纳法教学的

内在精髓。数学归纳法通过有限的程序，完成了验证无限的结论，它的灵魂就是递归思想。

归纳法是发现问题的一种有效方法。在数学归纳法的教学过程中，恰到好处地进行数学

归纳法的教学，既可帮助学生区分这两种方法，又可引领学生了解发现问题的途径，可谓一

举两得。培养学生“观察一归纳一猜想一证明”的链条式思维模式，开发学生的创造性思维

能力，将会对未来数学的发展起到推波助澜的作用。数学归纳法的应用是数学归纳法教学中

很重要的一个环节。数学归纳法可以用来证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题

和几何问题等。

本文针对数学归纳法应用过程中，学生常见错误出现的心理因素进行了问卷调查。在

应用数学归纳法证题时，导致学生犯错误的主要原因是对数学归纳法的原理没有真正理解;

另一个原因是数学归纳法应用中的思维定势。要克服学生使用数学归纳法的心理障碍，一个

有效的方法就是要了解数学归纳法应用的局限性。能运用非数学归纳法证明另外一些与正整

数有关的命题，也是学生学习和使用数学归纳法时所要克服的心理依赖和必经过程。

1.2数学归纳法的研究现状

对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论

述。例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基

础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了对数学归纳法本质的理解，

有助于学生更好地、合逻辑地运用数学归纳法证题，也有助于学生克服对于数学归纳法的模

糊甚至是错误认识。文中还指出了数学归纳法与归纳法、完全归纳法是完全不同的证题方法，

只是没有对一三者的内在关系进行系统详细地阐述。罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》

一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学

归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性。

在此文中还引述了一些学者的观点，就数学归纳法的本质进行了表述。

刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II

型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，

给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据

具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而

对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;李淑文、孙德菊在《累积数学归纳法》

一文中，比较了数学归纳法的第一种形式和第二种形式，并就第二种形式，即累积数学归纳

法作了举例说明。以上三篇论文都是针对数学归纳法的形式或构造的论述。

邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教

法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数

学归纳法和归纳法的区别。文中提到了不完全归纳法，但未作深入论述。唐以荣在《中学数

学综合题解题规律讲义》中指出:“早在五十年代的苏联的教学法书籍中，己明确指出数学

归纳法是演绎法的特殊形式;八十年代的中国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点

不能不令人遗憾。”①即使是现在的中学教材也还是没有改进这些。

齐智华在《“数学猜测”的教学构想与实践》一文中，介绍了“数学猜测”的教学纲目，

给出了作者编选猜测习题的原则，并进行了实例说明。文中讲述了“教猜测”和“教证明”

的同等重要性，用作者自身的实践说明:教猜测对所有层次的学生都具有普遍意义。此文以

教学纲目的形式，给出了先由归纳猜测结论，再由数学归纳法进行证明的思维方法，但没有

展开论述。

除以上这些论文以外，还有数量不少的文章从数学归纳法教学的细微处着眼，举例说

明了学生在学习数学归纳法过程中常见的错误，并进行了剖析。一些论著也提到了数学归纳

法，把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述。例如，徐利治先生著的《徐利治论数学方法

学》中，收集了以下几篇文