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2024年中考数学高频考点突破——实际问题与二次函数

1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距

离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平

面直角坐标系后，再作答）．

2．某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每

天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？

设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．

（I）分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：

原价每件降价1元每件降价2元…每件降价x元

每件售价（元）353433…

每天售量（件）505254…

（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）

3．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度

OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．

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（1）求这条抛物线的解析式．

（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员

测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．

4．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行

四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.

（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？

并求出此时点M的坐标.

5．某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天160元时，房间会全部住满。当每个房间每

天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于260元。

设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）。

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

6．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(单位：件)与每件

售价x(单位：元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)．当每件消毒用品售价为9元时，

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每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天销售量为95件.

（1）求y与x之间的函数关系式：

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元?

（3）设该商店销售这种消毒用品每天获得w元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最

大?最大利润是多少元?

7．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其

中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的

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边AB＝xm，面积为ym（如图）．