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略谈积分中值定理及其应用(优

选)word资料

略谈积分中值定理及其应用

白永丽张建中

(平顶山工业职业技术学院)

积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间

的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论

价值和广泛的应用。本文就其在解题中的应用进行讨论。

一、积分中值定理的内容：

定理1（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存

在一点使得



b

（1）

f(x)dxf()(ba),ab

a

定理2（推广的积分第一中值定理）若f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，且

g(x)在[a,b]上不变号，则在[a,b]至少存在一点，使得

bb

（2）

f(x)g(x)dxf()g(x)dx,ab

aa

证明：（推广的积分第一中值定理）

不妨设在[a,b]上g(x)0则在[a,b]有

mg(x)f(x)g(x)Mg(x)

其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则有：

bbb



mg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx

aaa

bb



若g(x)dx0，则由上式知f(x)g(x)dx0，从而对上任何一点，

[a,b]

aa

定理都成立。

b



若g(x)dx0则由上式得：

a

b



f(x)g(x)dx

maM

b



g(x)dx

a

则在上至少有一点，使得

[a,b]

b



f(x)g(x)dx

f()a

b

