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线性规划

什么是线性规划？线性规划的题一般都是大括号下面三个式子，把三条线画出来，然后找到一个区域，然后再

找到一条直线，去平移，求一个点的坐标，带进去，求最值。那么，大括号里面的式子我们叫做约束条件，在高中

阶段学习的线性的约束条件，也就是所有的约束条件都是一次的，都是直线。形成的区域叫做可行域。Z=几x+几y

叫做目标函数，一般线性规划问题都是线性目标函数。要解决目标函数的最大值和最小值，就是最值问题。所以线

性规划问题的完成表述就是线性规划条件形成可行域内目标函数的最值问题。取到最值得x和y叫做最优解。

考点1：典型的线性规划问题（可行域和目标函数都是线性的）

关键：如何把一个不等式转化为可行域上的一个区域。

3

方法一：把直线转化为斜截式处理。3x2y60，化成斜截式，yx3，直线画出来大于

2

等于，可行域取直线上面。缺点：转化为斜截式比较麻烦。优点：大于等于在上面小于等于在下面不会错

3x2y60(2,0)(0,3)

方法二：一般式（截距）直线。，与x轴y轴的交点分别是和。然后判断

（0,0）是不是满足不等式，判断可行域取直线上面还是下面。

xz

分析目标函数：目标函数得到的直线靠上好还是靠下好。例如zx2yy，截距越大，z越大，条直

22

xz

线越靠上越好。如果zx2yy，还是越靠上越好。所以直线靠上还是靠下，取决于y前面的正负。

22

yx



例题1：若变量x,y，满足约束条件xy1，且z2xy的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=？



y1



解析：正常可以画出可行域，通过直线的平移来解决此类问题。但是针对这道题有简单的方法计算，这三条直

线围成的区域围成的是三角形，如果是三角形的话那么一定在三个顶点的位置取得最大值和最小值。所以只需要求

yxxy1(0.5,0.5)z1.5yx

出三个顶点的值最大的是最大值，最小的是最小值。1）和的交点，。2）和

y1的交点(1,1)，z3。3）xy1和y1的交点(2,1)，z3。所以最大值M=3，最小值m=-3。

总结：这个方法只适用于可行域是闭合的，如果可行域是开放的则不适合。但是只要目标函数的最值有最大值

和最小值，可行域一定是闭合的。所以问最大值和最小值的题目都可以用这种速算的方法。

考点2：进阶的线性规划问题

1．目标函数的集合意义

xy3

例题2：若变量x,y满足约束条件y2，求：





2xy6



y

1）的取值范围

x