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拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中

的巧妙运用

作者：左代丽

来源：《新校园(下)》2016年第03期

摘要：本文首先介绍了拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用形式和应用范围，对

拉格朗日中值定理予以三种方式证明，并结合相关证明不等式例题，介绍了拉格朗日中值定理

在高中不等式证明中的巧妙运用。

关键词：拉格朗日中值定理；不等式；证明；应用

拉格朗日中值定理是微积分中值定理（包含罗尔定理、柯西定理以及拉格朗日定理）中的

一种，对于微积分理论构造有重要的作用。不等式的证明作为高中数学中较为常见的题型，也

是高考中较为常见的题型。对于不等式证明的解题方式有很多，利用中值定理解不等式是一种

常见的方式。但高中生并没有深入学习微积分，对此种方法的理解不够深入，应用起来稍显笨

拙。

一、拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用

极限问题的求解。极限问题是高中数学中极限学习的考察重点，在高中数学教学中，1.许

多教师都向学生介绍了洛必达法则、夹逼定理、泰勒公式等解题方式。这些解题方式原理简

单，解题思路顺畅，解题效果较好，极容易被学生吸收。而利用拉格朗日中值定理来求解极限

问题的教学比较少见，一方面，拉格朗日中值定理相对复杂，通常用来解决复杂的极限问题，

另一方面，学生对于复杂的极限题目往往具有畏难心理，常常在解题过程中选择放弃。实际

上，利用拉格朗日中值定理来解决复杂的极限问题，其实质在于分解题目，实现对题型的转

变，运用拉格朗日中值定理求极限的时候要把握好拉格朗日中值定理与极限问题之间的关联，

寻找两者之间的连接点，做好式子的简化，这样才能快速解题。

不等式证明的求解。不等式证明题是不等式教学中2.最基本的题型之一，解决不等式证明

的常规方法有许多，例如：数形结合、导数法等。利用拉格朗日中值定理来解决不等式证明

题，其核心在于对函数的构建，以及进一步探索导数与构建的函数之间的关系，利用这种关

系，进一步确定在特定条件下函数成立，继而证明不等式。常规方法证明较复杂的不等式需要

耗费大量的演算时间，且容易在求解过程中产生思维冲突，不利于正确解题，但直接运用拉格

朗日中值定理非常简单，能够快速求解。拉格朗日中值定理求解不等式或证明不等式时非常简

单，只需依照定理构建符合拉格朗日中值定理条件的函数F（x）即可，然后依照中值定理的

相应内容进行求证。

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函数问题的求解。拉格朗日中值定理是函数与导数之间连接的重要内容。该定理是函数3.

与导数结合的桥梁，是进一步分析函数各种性质的重要理论，是求解函数问题的重要方法。该

定理在求解函数问题中，最为核心的应用方式是做好逆向思维分析，其求证出发点是该定理与

函数性质之间的一致性，一定要注意辅助函数的构造，寻找最直接、最有效的辅助函数。

三、结论

拉格朗日中值定理在数学分析中越来越多地被应用，此定理是处理导数问题的必要工具。

拉格朗日定理在高考和考研中被广泛运用，常被作为压轴题出现。用拉格朗日中值定理交易解

决，充分体现了高等数学的优越性，让更多的学生体会数学中的乐趣。

参考文献：

闵兰，陈晓[1]敏.几个微分中值定理之异[J].西南师范大学学报（自然科学版），2012

（6）：196-199.

党艳霞[2].浅谈微分中值定理及其应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2010，10

（1）.

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