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圆锥曲线富瑞吉伴圆圆心轨迹探究

作者：万志红丁位卿

来源：《中学数学杂志(高中版)》2023年第06期

【摘要】在研究富瑞吉定理的新證法同时，发现了它对应的伴富瑞吉曲线轨迹和伴圆圆

心轨迹，并给出相关证明.以富瑞吉（Fregier）定理为背景的高考题，近年来时有出现，比如

2020年山东、海南卷解析几何压轴题、2023年高考全国Ⅰ卷最后一题，也可借助富瑞吉定点

来解答.

【关键词】圆锥曲线;富瑞吉点;伴圆圆心;轨迹

先证明圆锥曲线的富瑞吉定理，伴富瑞吉曲线和它的伴圆圆心轨迹是由前者衍生而来的.

笔者给出与文［1］不同的富瑞吉定理的新证法.

椭圆的富瑞吉定理（记为定理11）

定理1如图1所示，在椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上任取一点A（f，d），则以A为直

角顶点的椭圆内接Rt△MAN的斜边MN过点a2－b2a2+b2·f，b2－a2a2+b2·d.

证明如图1，过直角顶点A向斜边MN作AD⊥MN，垂足为点D，并设D（m，n），已

知A为某一时刻暂时定点且A（f，d），设MN的倾斜角为α（0°≤α180），所以过°D（D

为基点）的直线的参数方程为x=m+tcosα，y=n+tsinα，将它代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2，

化简得（b2cos2α+a2sin2α）t2+2（b2mcosα+a2nsinα）t+b2m2+a2n2－a2b2=0.所以

t1·t2=b2m2+a2n2－a2b2b2cos2α+a2sin2α.

因为M、N两点在MN上且在共线的D点的两侧，所以t1·t20.

由几何意义知，MD·DN=－t1·t2=a2b2－b2m2－a2n2b2cos2α+a2sin2α=a2b2－b2m2－

a2n2b2+c2sin2α（其中c2=a2－b2）.由点A（f，d）在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上得

b2f2+a2d2=a2b2①

在Rt△MAN中，MA⊥AN，AD⊥MN，由直角三角形的射影定理得，AD2=MD·DN.

因为AD2=（m－f）2+（n－d）2，所以AD2=（m－f）2+（n－d）2=a2b2－b2m2－

a2n2b2+c2sin2α1sin2α=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·AD2=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－

b2·［（m－f）2+（n－d）2］.

因为AD⊥MN，所以kMN=tanα=－1kAD=－m－fn－dcotα=－n－dm－f1sin2α=1+cot2α=

1+n－dm－f2=AD2（m－f）2.

所以AD2（m－f）2=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·［（m－f）2+（n－d）2］.化简整理

得

m－a2·fa2+b22+n－b2·da2+b22=a2b2（a2+b2－f2－d2）（a2+b2）2②

它就是点D的轨迹圆方程，笔者命名为富瑞吉伴圆，其圆心为Qa2fa2+b2，b2da2+b2.

易验证A（f，d）在②式的轨迹圆上.

设x0=xQ=a2fa2+b2f=（a2+b2）x0a2，y0=yQ=b2da2+b2d=（a2+b2）y0b2，将它们代入①

式化简得x20a3a2+b22+y20b3a2+b22=1（ab0）.

这就是富瑞吉伴圆的圆心轨迹，是一个以原点为中心且轨迹在原椭圆内的新椭圆.

如图1，连接AQ并延长交伴圆于X（因为A、Q均为某一时刻的定点，所以X也为同一

时刻的定点，X是相对Q点关于A点的对径点）.

因为AX为伴圆的一条直径，所以XD⊥AD，再考虑作法AD⊥MN，故定点X必在

Rt△MAN的斜边MN上，等价于动直线MN恒过定点X.由两点的中点坐标公式易求出定点X

的坐标为a2－b2a2+b2·f，b2－a2a2+b2·d，椭圆的富瑞吉定理证毕.

仿上同理可得，富瑞吉动定点X的轨迹方程为

x