24.2.2 直线与圆的位置关系（3） 教学设计.docx

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24.2.2直线与圆的位置关系（3）教学设计

学习目标：

1.理解切线长的概念；

2.掌握切线长定理；

3.会运用切线长定理解决一些简单的几何问题；

教学重难点：

重点：切线长定理的理解和运用

难点：切线长定理的证明，以及在复杂几何图形中识别和运用切线长定理解决问题.

一、复习旧知

1.直线和圆有哪些位置关系？

相离、相交、相切.

2.如何判断直线和圆相切？(常用方法)

(1)数量关系法(证明d=r)；

(2)判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

二、新知探究

探究一：已知⊙O和⊙O外一点P，你能过点P画出⊙O的切线吗？这样的直线能画几条？

归纳：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长(PA和PB).

思考：切线与切线长有什么区别.

合作交流请同学们小组合作，完成以下问题：

（1）图中的线段PA与PB有什么关系？

猜想：PA=PB

（2）图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？

猜想：∠APO=∠BPO

如何验证我们的猜想是否正确？

测量，翻折，证明.

已知：如图PA与PB是☉O的两条切线，A、B为切点.

求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.

证明：连接 OA、OB.

∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点.

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

即∠OAP=∠OBP=90°.

∵OA=OB，OP=OP，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

切线长定理：

过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

几何语言：

∵PA、PB分别切☉O于A、B，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

探究二：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？

如图，已知△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆I.

1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.

3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.

如：☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.

请类比三角形的外心，填一填.

名称

确定方法

图形

性质

外心：三角形外接圆的圆心

三角形三边中垂线的交点

外心到三顶点的距离相等；

2.外心不一定在三角形的内部．

内心：三角形内切圆的圆心

三角形三条角平分线的交点

内心到三边的距离相等；

2.内心在三角形内部．

三、小试牛刀

1.若连接两切点A、B，AB交OP于点M.又能得出什么新的结论?

结论：OP垂直平分AB.

证明：∵PA，PB是☉O的切线，

点A，B是切点，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

∴△PAB是等腰三角形，

PM为顶角的平分线.

∴OP垂直平分AB.

2.若延长PO交☉O于点C，连接CA、CB，还能得出什么新的结论?

结论：CA=CB.

证明：∵PA，PB是☉O的切线，

点A，B是切点，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

∴PC=PC.

∴△PCA≌△PCB.

∴AC=BC.

3.如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D，E，F，且AB=8，BC=15，CA=12，求AF、BD、CE的长.

解：设AF=x，则AE=x.

∴CE=CD=AC-AE=8-x，

BF=BD=AB-AF=12-x.

由BD+CD=BC，可得

(12-x)+(8-x)=15，

∴AF=2.5，BD=9.5，CE=5.5.

解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.

四、课堂小结

本节课你有什么收获？还有哪些困惑？

五、布置作业

见精准作业单

六、板书设计

24.2.2直线与圆的位置关系（3）

1.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.

这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

∵PA、PB分别切

☉O于A、B，

∴P