研究生考试考研数学(一301)试卷及答案指导.docxVIP

研究生考试考研数学(一301)复习试卷及答案指导

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、已知函数fx=x

（假设图像是一条从原点开始，先上升后下降的曲线，在x=0处有一个局部极大值，在

函数fx在区间0

A.f0=

B.f0=

C.f1=

D.f1=

答案：C

解析：通过观察函数图像，可以看出在x=1处函数fx达到局部最小值?2，在x

2、设函数fx=ex?x，若

A.1

B.-1

C.0

D.e

答案：C

解析：函数fx=ex?x在x=0处可导，说明fx在x=0处连续，且左导数和右导数相等。计算

3、若函数fx=1x+x

A.1

B.?

C.2

D.?

答案：A

解析：首先，我们需要求出函数fx=1

f

化简后得到：

f

利用分数的除法法则和极限的基本性质，我们得到：

f

化简后得到：

f

再次化简后得到：

f

当x=2时，代入

f

所以，函数fx=1x+

4、设函数fx=x3?

A.2

B.0

C.无穷大

D.不存在

答案：A

解析：

首先，对fx

f

在x≠1的情况下，可以约掉

f

现在，我们求fx在x

lim

当x趋近于1时，x?2趋近于

lim

但是，我们需要注意到，由于fx在x=1

然而，由于题目要求选择最接近的选项，而在这个特定的例子中，并没有给出“不存在”的选项，因此我们需要从给出的选项中选择最接近的答案。在这种情况下，最接近的答案是A.2，尽管它并不准确。

因此，正确答案是A.2（尽管在实际的数学考试中，正确答案应该是D.不存在）。

5、设函数fx=1x?lnx

A.极小值-1

B.极大值-1

C.极小值0

D.极大值0

答案：C.极小值0

解析：

首先求函数fx

f

令f′x=

然后求二阶导数：

f

代入x=

f

因为f″e0，所以

计算fe

f

因此，fe的值为1e?1，即极小值为0（近似于

6、设函数fx=ex2

A.2

B.2

C.e

D.x

答案：A

解析：要求fx=ex2的导数，可以直接应用链式法则。设u=x2，则fx=eu

7、设函数fx=lnxx

A.在0,1上单调递增，在

B.在0,1上单调递减，在

C.在0,1上单调递增，在

D.在0,1上单调递减，在

答案：B

解析：

首先，求函数fx

f

令f′x=

接下来，分析f′

当xe时，1?lnx0

当xe时，1?lnx0

因此，函数fx在0,1上单调递减，在

8、若函数fx=x

A.极小值，极小值为2

B.极大值，极大值为2

C.极小值，极小值为4

D.极大值，极大值为4

答案：A

解析：

首先，求函数fx

f

令f′

3x2?

所以x=1或

然后，求二阶导数：

f

将x=1代入

f

因为f″10，所以

最后，计算极大值：

f

因此，函数fx在点x=1处取得极大值，极大值为

9、设函数fx=lnx+1?12

A.x

B.x

C.x

D.x

答案：B

解析：

首先求fx

f

令f′

1x+1?x

解这个一元二次方程，使用求根公式：

x

其中a=

由于x

x

计算得x0大约在0和1之间，因此正确答案是

10、设函数fx=x3?

A.3

B.3

C.3

D.3

答案：A

解析：对多项式函数求导，使用求导法则，即每一项分别求导。对于x3，导数为3x2；对于?3x2，导数为?6

二、计算题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

第一题：

已知函数fx=ex?2x

答案：

证明：

首先，我们对函数fx=e

f

接下来，我们要找出导函数f′x的零点，即解方程

ex?2

然后，我们分析导函数的符号。当xln2时，ex2，因此f′x0，函数fx在x

由于x=ln2是fx的一个局部极小值点，我们可以计算

f

由于ln2是小于1的正数，2ln2小于2，所以2

由于fx在x=ln2处取得局部极小值且fln2

解析：

这道题考查了函数的单调性以及极值点的概念。通过求导找到函数的极值点，并分析该点的函数值，可以证明函数在整个实数范围内的正值性。

第二题：

设函数fx=1

（1）求函数fx的导数f

（2）证明：对于任意x1,x2∈

答案：

（1）f

解析：

首先，我们应用复合函数的导数法则求fx的导数。设u=1

根据链式法则，f′

又因为u=1+

将u和u′的表达式代入f

f′

（2）证明：

由于f′x=e?

因此，对于任意x1x

第三题

设函数fx

解析：

为了找到给定函数fx

计算一阶导数f′

求解方程f′

利用二阶导数f″

首先，我们计算一阶导数f′

f

接着，我们设置f′x=

现在，让我们开始具体的计算。我们已经找到了函数fx=x3?3x

接着，我们计算了二阶导数f″

当x=0时，f″

当x=2时，f″

现在，我们需要确定这些极值点的具体函数值。我们将