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略谈积分中值定理及其应用

白永丽张建中

(平顶山工业职业技术学院)

积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我

们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。本文就其在解题

中的应用进行讨论。

一、积分中值定理的内容：

定理1（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点使得



b



f(x)dxf()(ba),ab（1）

a

定理2（推广的积分第一中值定理）若f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不

变号，则在[a,b]至少存在一点，使得



bb



f(x)g(x)dxf()g(x)dx,ab（2）

aa

证明：（推广的积分第一中值定理）

不妨设在[a,b]上g(x)0则在[a,b]有

其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则有：

bb



若g(x)dx0，则由上式知f(x)g(x)dx0，从而对[a,b]上任何一点，定理都成立。

aa

b



若g(x)dx0则由上式得：

a

则在[a,b]上至少有一点，使得

bb



即：f(x)g(x)dxf()g(x)dx,axb.

aa

显然，当g(x)1时，（2）式即为（1）式

二、积分中值定理的应用

由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间

关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，

在应用积分中值定理时应注意以下几点：

（1）在应用中要注意被积函数在区间[a,b]上连续这一条件，否则，结论不一定成立。





cosx,x0

例如：f(x)4,显然f(x)在x0处间断。





cosx,0x

4



00



由于f(x)dxf(x)dxf(x)dx(cosx)dxcosxdx0

444

