中值定理的论文 .pdfVIP

摘要:微分中值定理不仅是微分学的基本定理,而且它也是微分学的理论核心。本文介绍了微

分中值定理在解题中的应用及如何构造辅助函数。

关键词:微分中值定理;辅助函数;应用

微分中值定理是数学分析中的非常重要的基础定理,它是沟通函数与导数之间的桥梁。

微分中值定理系指:Rolle中值定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,Taylor公式,在用微分

中值定理去证明一些问题时,我们通常采用的方法是直接套用这些定理或是经过简单地恒等

变换以后而实现。但在实际应用的过程中,仅有此方法不能满足教师和学生的需要,经常采用

构造辅助函数法的方法。

一、微分中值定理之间的关系

Rolle定理是微分中值定理的基石,而Lagrange中值定理则是微分中值定理的核心.拉格

朗日中值定理添加条件f(a)=f(b)则收缩为特例Rolle定理。反之,如果定理Rolle中放弃条件

f(a)=f(b)则推广为Lagrange中值定理;同样,则Cauchy中值定理就收缩成为Lagrange中值定

理。而Cauchy中值定理可视为Lagrange中值定理在表述上形式的一种推广;若Taylor中值

定理添加条件,则收缩为特例中值Lagrange定理Taylor中值定理可视为Lagrange中值定理在

应用上的一种推广。

二、微分中值定理的应用

2.1一般说来,当涉及导数零点时,应考虑Rolle中值定理,一些题目可直接从结论出发,分

析要证明的结果,从而构建适当的辅助函数,如

例1设常数a0,...,an满足■+■+...+■+an=0,求证:多项式a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an在(0,1)

内有一零点。

分析:利用要证的结论,从导函数的“逆”去想,构造一函数f(x)=■xn+1+■xn+…■x2+anx,使

之作为辅助函数,再用辅助函数来证明。

证明设函数f(x)=■xn+1+■xn+…■x2+anx,x∈[0,1],

f(0)=f(1)=0,

满足Rolle定理,э灼∈?(0,1),f(?灼)=0,f(?灼)=a0?灼n+a1?灼n-1…+an=0

即?灼是a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的零点。

2.2当涉及两点函数值差时,构造辅助函数,使之转换为满足拉格朗日定理函数。

例2证明:当0分析arctanb-arctana形如f(b)-f(a),这里可以考虑运用拉格朗日定理。

用构造法构造一个函数,令f(x)=arctanx在以a、b为端点的闭区间上f9x0符合拉格朗日定理

的条件,有arctanb-arctana=■-a),(b根据aCB变形可得要证明的不等式。

证明当0由拉格朗日定理得f(b)-f(a)=f(c)(b-a),c∈(a,b),aC■-a)(b■,

有■2.3当涉及两个函数在同一点的函数值时,应考虑Cauchy中值定理。而柯西中

值定理较前两者更具有一般性、代表性。

例3如果x1x20证明存在x1,x2之间的点?灼,使得

x1ex2-x2ex1=(1-?灼)e?灼(x1-x2)

证明:不妨设0X1

参考文献

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