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中值定理的分析性质研究文献综述

文献综述

中值定理的分析性质研究

一、前言部分微分中值定理是微分学的基本定理之一,研究函数的有力工具.

微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日Lagrange微分中

值定理为例,它的几何意义:一个在上连续,在内可微的曲线段,必有,曲线在点的

切线平行于连接点与的割线.它的运动学意义:设是质点的运动规律,则质点在时

间区间上走过的路程为,在上的平均速度为,存在的某一时刻,质点在的瞬时速度

恰好是它的平均速度.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.它首先是法国

著名的数学家费马于1637年给出了费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费

马定理.1691年,法国数学家罗尔Rolle在《方程的解法》一文中给出多项式形

式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格

朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯

西Cauchy,他首先赋以中值定理重要的作用,使其成为微分学的核心定理,并给

出了广义的中值定理?柯西定理.

主题部分

一、微分中值定理产生的历史

文献[1]和[2]中说到了微积分学简史,费马对微积分作出过重要的贡献.

他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得出原

始形式的费马定理.所谓的虚拟等式法,用现代语言来说,对于函数,让自变量从

变化到,当为极值时,和的差近似为,用除虚拟等式,,然后让,就得到函数极值点

的导数值为,这就是费马定理:函数在处取极值,并且可导,则.应该指出:费马给

出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没有明确导数,极限连续的概念,用现代

眼光来看,其论断也是不严格的.现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和

费马发现的实质重新给出的.

罗尔在1691年发表的论著《方程的解法》给出了“在多项式

的两个相邻根中,方程

至少有一个实根.”正好是定理的一个特例,这也是此定理成为罗尔定理的原

因.罗尔当时提出这个结论,主要是针对多项式函数,现在看到的罗尔定理,是后

人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数.“罗尔定理”这一名称是由

德国数学家德罗比什Drobisch在1834年给出,并由意大利数学家贝拉维蒂斯

Bellavitis在1846年发表的论文中正式使用的.文献[1]-[5]中都涉及到了中

值定理的基本概念.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理.它是指:“在

上连续,在上可导,则存在一点,使.”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书

中首先给出的,它最初形式为:“函数在和之间连续,的最大值为,最小值为,则必

取,之间一个值.”

柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广.它是指:设和在上连续,在上可导,

并且,,则至少存在一点,使

柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似.

微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位.例如他利用微

分中值定理给洛必达法则以严格的证明,并研究泰勒公式的余项.从柯西起,微分

中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分.

微分中值定理中间点的分析性质

2.1Lagrange中值定理中间点的渐进性及其分析性质在一元函数微分学

中,拉格朗日中值定理是核心,因此对Lagrange中值点的研究就成了一项重要内

容.

Lagrange中值定理只断言的存在性.至少有一个,但可能不止一个,除了

对一些比较简单的函数,无法指明这种点的确切位置.文献[6]中有了下面的结

论:

结论1.若函数满足下列条件:在上连续;在内存在二阶导数;,;则在内存

在唯一一点,使得.

结论2.若函数满足下列条件:在上连续;在内可导,且在的任何子区间上

为非线性函数;方程在内恰有个根;则在内存在个点使得.

结论3若函数满足下列条件:在上连续;在内可导;方程在内恰有个根;则

在内至少存在一点,使得.

在此给出结论1的证明:由Lagrange中值定理知,点是存在的.下面证明点

的唯一性,用反证法:假设存在两点,分别使

由条件二知函数在区间上满足Rolle定理,所以