2.4线段、角的对称性（三~四）（解析版）.pdfVIP

2.4线段、角的对称性（三~四）

【推本溯源】

1.如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折，

因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。A

因此，

角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.

OB

2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。

证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°

在▲PDO与▲PEO中，

∠DOP∠EOP



∠PDO∠PEO90°

OPOP



∴▲PDO≌▲PEO（AAS）

∴PD=PE

因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．

几何语言：

∵点P在∠AOB的平分线上，

PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD＝PE

3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB

的角平分线上吗？为什么？

点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ，

∵QD⊥OA，QE⊥OB

∴∠QDO=QEO=90°

在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°，

QDQE



OQOQ

∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）

∴∠DOQ=∠EOQ

∴点Q在∠AOB的角平分线上

因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

几何语言：

∵点Q在∠AOB的内部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE

∴点Q在∠AOB的平分线上

4.已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM．

（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．

1

2

（2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部

交于点M

（3）作射线OM。

5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现

什么？

三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等

6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三

者之间的关系是？

1

SCh

2

【解惑】

如图，DEAB交延长线于，DFAC于，BDCD，BECF．

1ABEF

例：

(1)求证：平分BAC；

AD

(2)ABACAE

直接写出与之间的数量关系．

(1)

【答案】见解析

(2)ABAC2AE

1EDFC90

【分析】（）求出，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，

推出DEDF，根据角平分线性质得出即可；

2AEAFBECF

（）根据全等三角形的性质得出，再根据，即可求出答案．

1DFAC

【详解】（）解：证明：∵DE⊥AB，，

EDFC90，

在Rt△BED和RtCFD中，

BDCD

，

BECF

Rt△BED≌Rt△CFDHL

，

DEDF，

∵DE⊥AB，DFAC，

AD平