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拉格朗日插值法在实际问题中的应用

信科131高静远

尽管满足插值条件Pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)(1)的n次插值多项式是唯一的，然而它的表

达式却可以有多种形式。如果取满足条件

I(x)1(ik)或0（i!k）(i0,1,2...n)

ki

的一组n次的代数多项式l0(x)、l1(x)、…、ln(x)作为上述线性空间的基，容易看出

y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=∑yklk(x)

必是一个不高于n次的代数多项式，而且它在节点x0、x1、…、xn上的值依次是y0、y1、…、

yn也就是说，由n+1个n次代数多项式y0l0(x)、y1l1(x)、…、ynln(x)线性生成的多项式（3），

就满足插值条件（1）的n次插值多项式。满足条件（2）的n次代数多项式lk(x)

（k=0,1,2…,n），称为在n+1个节点xi（i=0,1,2,…,n）上的n次基本插值多项式；形如（3）

的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记作Ln(x),即

n

L(x)yl(x)yl(x)...yl(x)yl(x)

n0011nnii

i0

其中基函数

L(x)(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xx)/(xx)(xx)...(xx)...(xx)

k01k1k1nk0k1kk1kn

给定函数表如下：

x...0.10.20.30.40.5...

exp(x)...1.15021.22141.34991.49181.6487...

试求exp(0.285)的近似值

程序：

x=[385,560,621,655,676,695,711,728,750,776,806,837,858,880,900,923,94

3,982,1040,1120,1352];

y=[0.3,0.7,1,1.2,1.35,1.5,1.65,1.8,2,2.15,2.22,2.10,1.95,1.8,1.65,1.5

,1.35,1.2,1,0.8,0.5];

p=polyfit(x,y,2)

x1=385:10:1355;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,*,x1,y1)

小结：

1因为程序编辑器应用的并不熟练，许多公式只能用编程的语言来叙述，例如e的x次幂，

我用了exp(x)还有大括号，因为打不出来，所以我只能用“或”来表示

2因为是自己纯手打，排版可能不是很完美，以后我会吸取经验教训，努力提高

3在用matla程序写函数的时候，因为没有网上的范本，改了很多次，所以拖了比较久才做

完。