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拉格朗日乘数法应用的推广

电子科技大学2014级英才学院宁博宇败家男

摘要

在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫•路易斯•拉格朗日命名）是一

种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。它是解决工程，经济等最优

化问题的一种数学工具。本文介绍了拉格朗日乘数法，并将其进行推广，提出了在不等式约

束和等式约束混合条件下的解法。

关键词：拉格朗日乘数法,条件极值。

第一章引言

在数学最优化问题中,拉格朗日乘数（以约瑟夫•路易斯•拉格朗日命名）是一种寻找变

量受一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约

束的问题转换为一个更易求解的n+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入

了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个

向量的系数。

1.1约瑟夫•路易斯•拉格朗简介

约瑟夫•路易斯•拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，生于1736年1月25日，死于1813

年4月10日），是法国籍意大利裔天文学家和数学家。拉格朗日曾经为普鲁士腓特烈大帝在

柏林工作了二十年，并且被腓特烈大帝称做是“欧洲最伟大的数学家”，后来受王法国国王

路易十六的邀请然后定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领

域都做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学

等等。

他的主要贡献：

代数：群的阶是子集的阶的倍数，消去理论，将行列式的概念应用到非消去理论的范畴，拉

格朗日插值多项式

数论：四平方和定理，证明配尔方程必存在解，证明威尔逊定理，创立二次型论，证明循环

连分数均为二次无理数。

微积分：拉格朗日乘数法，中值定理。

力学：1764年，拉格朗日成功解释了为什么月球总是一面朝向地球。在1772年至1788年，

他简化了经典力学中的一些公式和运算，并创建了自己的分支，称为拉格朗日力学。

天文；1772年，发现拉格朗日点。

第一章引言

在数学最优化问题中,拉格朗日乘数（以约瑟夫•路易斯•拉格朗日命名）是一种寻找变量受

一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束的

问题转换为一个更易求解的n+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一

种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量

的系数。

1.2拉格朗日乘数法的应用现状

拉格朗日乘数法作为微积分求限制条件的多元函数极值的一种方法，在实际问题中占有重

要地位。

工程应用中人人往往会遇到许多实际问题，其中就有很多事约束最优化问题。例如工

业设计中的易拉罐的外形设计，机机翼载荷转换计算，工程结构可靠度分析的一种方法和一

个工程力学模型的分析计算等。拉格朗日乘数法作为求约束最优化的一种方法，在工程问题

中能利用它解决上述问题。

约束最优化在经济学占有很重要的地位。例如一个消费者的选择问题可以被视为一个

求效用方程在预算约束下的最大值问题。拉格朗日乘数在经济学中被解释为影子价格，设定

在某种约束下，在这里即收入的边际效用。

第二章拉格朗日乘数法的基本理论

2.1拉格朗日乘数法简介

在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容

积为V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.设水箱的长、宽、高

分别为x,y,z，则水箱容积Vxyz

焊制水箱用去的钢板面积为S(x,y,z)2(xzyz)xy

这实际上是求函数S(x,y,z)在Vxyz限制下的最小值问题。

这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件

(x,x,,x)0,k1,2,,m,(mn)

k12n

限制下，求函数f(x,x,,x)的极值

12n

条件极值与无条件极值的区别