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拉格朗日中值定理的证明及其应用

【摘要】拉格朗日中值定理是微积分中重要定理之一，其证明方法关键在于

构造一个辅助函数，再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.本文从

坐标旋转、分析表达式、向量运算、区间套定理四个方面分析构造辅助函数的思

路和方法，利用该辅助函数证明了拉格朗日中值定理，并以具体实例说明如何应

用拉格朗日中值定理.

【关键词】罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；辅助函数

1引言

拉格朗日中值定理是微分学的重要定理之一，它的证明通常以罗尔中值定理

作为预备定理，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，而辅助函数应满足罗尔

中值定理的全部条件，证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗

日中值定理的结论.罗尔定理中这个条件很特殊，它使罗尔定理的应用受到限制.

如果把这个条件取消，但仍保留另外两个条件，并且相应改变结论，即得微分学

中十分重要的拉格朗日中值定理.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算三种

方法证明了拉格朗日中值定理，并从具体实例说明了如何应用拉格朗日中值定

理.

2拉格朗日中值定理证明

拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数（该辅助函数应满足

罗尔中值定理的全部条件）应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同，

拉格朗日中值定理的证法有多种.首先我们给出罗尔中值定理和拉格朗日中值定

理[1]如下：

罗尔中值定理若函数满足以下条件：

（1）在连续；

（2）在可导；

（3）.

则至少存在一点，使.

拉格朗日中值定理若函数满足以下条件：

（1）在连续；

（2）在可导，

则在内至少存在一点，使

.

2.1利用坐标旋转构造辅助函数

如果函数在闭区间上连续；在内可导.

图2.1

如图2.1所示，由坐标旋转图形的不变形可知，只要把坐标轴旋转到与直线

重合，在新坐标下图形显然满足罗尔定理条件，通过罗尔定理即可得出结论.为

此可引入旋转坐标变换[2]

.

因为

，

所以有逆变换

.

记

.

取旋转角时，在上连续；在内可导，由

，

可得

，

即，因此，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点使，亦即

，.

2.2利用分析表达式构造辅助函数

由拉格朗日中值定理结论可知，欲证，即要证，换言之即证在区间内有

零点.据此利用罗尔定理可得拉格朗日中值定理.

证明令，则在区间连续，在内可导，且

，

即

.

故由罗尔定理知，至少存在一点，使.

即

.

注意这辅助函数所表示的曲线是曲线和直线之差，而这直线通过原点且

与曲线在上两端点的连线平行，从而使得满足罗尔中值定理的条件.

2.3利用向量运算构造辅助函数

引理2.1[3]在平面直角坐标系中，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别

为，，，则三角形ABC面积为.

于是可以引用引理证明拉格朗日中值定理如下：

若在内连续，在内可导，则在内连续，在内可导，且，所以由罗尔

中值定理知：在内至少存在一点使得，而

.

故

.

通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结，发现证明方法的确多种多

样.一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角度加以

分析总结，分析法构造辅助函数主要有原函数构造法；几何法是利用图形的特征

进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异曲同工之妙，同时也可以

认为是上面某些分析方法的几何解释.另外我们还总结了一些特殊方法，它们不

需要构造辅助函数，仍可以得证，如区间套定理证明法.通过分类总结，有助于

开阔我们的思路，对微分中值定理的认识也会更加深入.

3拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础.它作为中值定理的

核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用.下面通过举例

说明拉格朗日中值定理