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运动方程物理学

运动方程质点运动时，其位矢r是随时间变化的，因此，位矢r是时间的函数，即r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k上式称为质点的运动方程。运动方程在直角坐标系中的三个分量式为：x＝x（t），y＝y（t），z＝z（t）从上式中消去时间参数t，就可得到质点位置坐标x、y、z之间的关系式，此关系式称为质点运动的轨道方程。运动学的中心问题是求解运动方程，它主要包括两类计算问题：（1）已知运动方程，求速度和加速度；（2）已知加速度和初始条件（初始时刻质点的位置和速度），求运动方程。

【例1-1】如下图所示，水中有一小船，岸边的人用绳子通过离水面高h的滑轮拉船靠岸，设绳子的原长为l0，人以匀速v0拉绳，求任意时刻小船的速度和加速度公式。【解】建立如上图所示的坐标轴Ox。根据题意，t＝0时，滑轮至小船的绳长为l0；经过时间t后，绳长减小至l＝l0－v0t。此时，小船的位置坐标为：上式即为小船的运动方程，它指出了小船的位置x随时间t变化的规律。

小船的速度为：小船的加速度为：

【例1-2】已知质点的运动方程为r＝（－5t＋20t2）i＋（10t－15t2）j。求：（1）t＝2s时，质点的速度；（2）任意时刻质点的加速度。【解】（1）由式（1–12）可知，质点的速度为：t＝2s时，质点的速度为：速度的大小为：速度v与x轴正向的夹角α为：

（2）由式（1–20）可知，质点的加速度为：加速度的大小为：加速度a与x轴正向的夹角θ为：

【例1-3】一质点沿x轴运动，其加速度为a＝4t。已知t＝0时，质点位于x0＝10m处，初速度v0＝0，试求其任意时刻的速度和运动方程。【解】（1）由加速度定义可知：分离变量，两边积分得：因t＝0时，初速度v0＝0，故C1＝0。于是，质点任意时刻的速度为：

（2）由速度定义可知：分离变量，两边积分得：因t＝0时，x0＝10m，故C2＝10。于是，质点的运动方程为：

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