数值分析方法 课件 4-7 积分区间逐次分半求积方法.pptx

数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编李冬果李林高磊首都医科大学生物医学工程学院智能医学工程学学系

第四章数值积分基础

目录/Contents4.1数值积分的基本思想4.2机械求积公式4.3二、三节点的高斯求积公式4.4机械求积公式的误差估计4.5牛顿-科茨公式4.6复合求积公式及其误差估计4.7积分区间逐次分半求积方法4.8数值微分

上节例4.6.2通过估计误差来确定积分区间的分点数目,一般而言,误差随分点数增加而减少,但这种方法不是对所有被积函数都易于使用.那么如何确定适当（最少）的分点数使真值与近似值之差在允许的范围之内是一个令人们关注的问题，将积分区间逐次分半是这类方法之一.4.7积分区间逐次分半求积方法

1.梯形求积公式的逐次分半法对区间[a,b]用梯形公式：将区间[a,b]二等分，用梯形公式，得其中

将区间再等分，分别用梯形公式，再相加得其中是第二次等分区间三个分点.一般地有

由复化梯形求积公式的误差估计式（2），可以看出这里c为常数，仅与被积函数及积分区间相关.再次二分区间后误差为以上两式相减得

因此，可以利用估计误差由此，可以判断近似值是否以满足要求，只需考查是否满足，这里?是容许误差。如果该条件成立，说明近似值满足计算要求，否则可以将区间继续二分，直到满足为止。

2.抛物线求积公式的逐次对区间[a,b]用抛物线求积公式：其中将区间[a,b]二等分，分别于上用抛物线求积公式，得（*）

与（*）式比较，假定与近似相等，则有（**）

与（**）式相比较得由此，可以判断近似值是否以满足要求，只需考查

是否满足，这里?是容许误差。如果该条件成立，说明近似值满足计算要求，否则可以将区间继续二分，直到满足为止。

例4.7.1对于积分,利用逐次分半的梯形求积公式,逐次分半的抛物线求积公式考察积分值。解逐次将区间分半，分别利用逐次分半的梯形求积公式,逐次分半的抛物线求积公式进行计算，将计算结果列于表中。

可以看出，随着积分区间半分，计算结果逐步接近于真值2，如果考虑容许误差，那么梯形公式需要到小区间长度为时终止，因为注意到例4.6.2给出复合梯形公式给出的结果是要将区间进行72等分，小区间长度远小于区间逐次半分的结果。

对于抛物线公式，达到同样的精度，需要到小区间长度为时终止，因为注意到例4.6.2给出复合抛物线公式给出的结果是要将区间进行4等分，两者差不多一致.

谢谢