数值分析方法 课件 第四章 数值积分基础.pptx

数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;引言;引言;引言;为克服上述许多缺点，定积分计算的数值求解能弥

补上述不足，并可带来满意的结果。;;引言;谢谢;数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;引言;引言;引言;引言;引言;;几何意义：;例1分别利用梯形求积公式、抛物线求积公式，计算定积分;谢谢;数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;引言;n=1时机械求积公式为

;引言;引言;;n=2时求积公式

;引言;;;;;谢谢;数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;引言;考虑一组节点作插值函数;;;;;抛物线求积公式的误差估计为：;;谢谢;数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;在插值型求积公式中，考虑节点是等距节点;又由n次插值基函数为;此时得到梯形求积公式:;当n=2时，Cotes系数为：;当n=3时，Newton-Cotes公式：;当n=4时，Newton-Cotes公式为：;例1利用Cotes求积公式计算定积分并与抛物线;该例显示，n=4的Newton-Cotes公式给出了更精确地结果，考虑到Cotes系数是一些简单积分，便于计算，不妨取n=8，;Newton-Cotes公式的代数精度;考虑，有;令;谢谢;数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;为了提高积分精确度，通常将区间[a,b]适当分割成若干个字区间，对每个子区间使用求积公式，构成所谓的复化求积公式。如在每一个子区间上应用简单的梯形求积公式、抛物线求积公式与两点高斯求积公式，得到对应的复合梯形求积公式、复合抛物线求积公式与复合高斯求积公式.;1.复化抛物线求积公式;2.复化梯形求积公式;考虑区间[a,b]分成n等份，分点为

在每一个子区间上利用梯形求积公式，得;复合梯形求积公式;对应于二点高斯求积公式得;对应于三点高斯求积公式得;4.复合求积公式的误差估计;例4.6.1对于函数，取n=4,利用符合抛物线求积公式;例4.6.2对于积分，利用复合梯形求积公式和复合抛物线求积公式,要使截断误差不超过，;根据复合抛物线求积公式余项估计式（3）得;谢谢;数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;上节例4.6.2通过估计误差来确定积分区间的分点数目,一般而言,误差随分点数增加而减少,但这种方法不是对所有被积函数都易于使用.那么如何确定适当（最少）的分点数使真值与近似值之差在允许的范围之内是一个令人们关注的问题，将积分区间逐次分半是这类方法之一.;1.梯形求积公式的逐次分半法;将区间再等分，分别用梯形公式，再相加得;由复化梯形求积公式的误差估计式（2），可以看出;因此，可以利用估计误差;2.抛物线求积公式的逐次;与（*）式比较，假定与近似相等，则有;与（**）式相比较得;是否满足，这里?是容许误差。如果该条件成立，说明近似值满足计算要求，否则可以将区间继续二分，直到满足为止。;例4.7.1对于积分,利用逐次分半的梯形求积公式,逐次分半的抛物线求积公式考察积分值。;可以看出，随着积分区间半分，计算结果逐步接近于真值2，如果考虑容许误差，那么梯形公式需要到小区间长度为时终止，因为

注意到例4.6.2给出复合梯形公式给出的结果是要将区间进行72等分，小区间长度远小于区间逐次半分的结果。;对于抛物线公式，达到同样的精度，需要到小区间长度为

时终止，因为

注意到例4.6.2给出复合抛物线公式给出的结果是要将区间进行4等分，两者差不多一致.;谢谢;数值分析方法;第四章数值积分基础;目录/Contents;?;1.差商求导公式;?;?;借助Taylor展开式，取步长h为参数，将一阶展开：;?;?;?;?;?;?;2.插值型求导公式;?;几种常用的求导公式;?;此时截断误差分别为：;(2)三点公式;?;考虑三点公式的截断误差，计算;例已知函数由如下数据表给出，求各点处的导数值。

?;例4.9.4角膜是眼球前部的透明组织，具有保护眼睛和屈光作用。角膜的屈光力约占全部眼球屈光力的70%，作为类似于旋转抛物面的角膜，其屈光力与角膜前后表面曲率密切相关。已知角膜前表面