同济版高等数学 在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题.pdfVIP

同济版高等数学在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问

题

拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem）是一个重要的

数学定理，它可以有效地帮助我们解决微分方程和积分方程等问题，

并且在多个领域有广泛的应用，尤其是在计算机科学领域。在拉格朗

日中值定理的证明中，利用罗尔定理（RolleTheorem）是一种有效

的方法。因此，利用同济版高等数学证明拉格朗日中值定理成为一个

重要的研究课题。

首先，我们介绍一下拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理定义

了一个函数在某段区间上的行为，它认为：如果一个函数$f(x)$在区

间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在$(a,b)$内一定存

在一个点$c$，使得$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{}(c)$，即拉格朗日

中值定理成立。

然后，我们介绍一下罗尔定理。罗尔定理的定义为：如果一个函

数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在区间

$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c)=0$。罗尔定理可以用

来证明拉格朗日中值定理。

将罗尔定理和拉格朗日中值定理联系起来，可以得到证明拉格朗

日中值定理的结论：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在

$a,b$处可导，那么一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c)=

frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，即拉格朗日中值定理成立。

接下来，我们来看看如何利用同济版高等数学进行拉格朗日中值

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定理的证明。首先，我们需要用罗尔定理证明函数$f(x)$在$[a,b]$上

连续、可导，存在一个点$c$使得$f^{}(c)=0$，即：函数$f(x)$在

$[a,c]$上单调递增，在$[c,b]$上单调递减。

在此基础上，我们继续做出下列的假设：设$f^{}(x)$在

$[a,b]$上连续可积，当$f^{}(x)$在$[a,c]$上单调递增时，$f(x)$的

积分是一单调递增函数，当$f^{}(x)$在$[c,b]$上单调递减时，

$f(x)$的积分是一单调递减函数。那么，由于$f(x)$在$[a,b]$上连

续可导，我们有：

$int_a^cf^{}(x)dx=f(c)-f(a)$

$int_c^bf^{}(x)dx=f(b)-f(c)$

将以上两式相加，得到：$int_a^bf^{}(x)dx=f(b)-f(a)$

从而得到：

$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=frac{1}{b-a}int_a^bf^{}(x)dx=f^{}(c)$

得证：拉格朗日中值定理成立。

总之，本文利用同济版高等数学通过罗尔定理证明了拉格朗日中

值定理，从而可以有效地用于许多领域的应用，特别是计算机领域。

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