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《正切函数的图象与性质》同步学案

问题情境导入

前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？这就是今天我们要学习的内容.

新课自主学习

自学导引

正切函数的性质：

（1）定义域.

正切函数的定义域是_____.

（2）值域.

正切函数的值域是_____.

（3）周期性.

正切函数是周期函数，周期是_____，最小正周期是_____.

（4）奇偶性.

正切函数是_____,正切曲线关于______对称，都是它的对称中心.

（5）单调性.

正切函数在每一个区间_____上单调递增.

答案

（1）

（2）R

（3）

（4）奇函数原点

（5）

预习测评

1.函数（）

A.在整个定义域上为增函数

B.在整个定义域上为减函数

C.在每一个开区间上为增函数

D.在每一个闭区间上为增函数

2.函数的定义域是（）

A.

B.

C.

D.

3.函数与

的最小正周期相同，则（）

A.

B.1

C.

D.2

4.函数的单调递增区间为_____.

答案

1.

答案：C

2.

答案：D

3.

答案：A

解析：由题意得，得，即.

4.

答案：

新知合作探究

探究点1正切函数的图象及其应用

知识详解

正切函数图象的两种画法：

（1）几何法：利用单位圆中的正切线画图，该方法较为精确，但画图时较烦琐.

（2）三点两线法：“三点”是指点，“两线”是指直线

，大致画出正切函数在上的简图后向左右扩展即得正切曲线（如图）.

典例探究

例1根据正切函数的图象，解不等式.

解析先确定一个周期内的的取值范围，再写出不等式的解集.

答案函数在区间内的图象如图所示.

作直线则在区间内，当时，，又函数的周期为，则的解集是.

方法技巧解形如的不等式的步骤：

变式训练1在区内，函数与图象的交点个数为（）

A.5

B.4

C.3

D.2

答案：C

解析：在同一直角坐标系中，分别画出函数与的图象，如图所示.

观察图象知，在处，两个函数的函数值都是0，即两个函数的图象有3个交点.

探究点2与正切函数有关的函数定义域

知识详解

求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即.

[特别提示]

求与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域.

典例探究

例2求函数的义域.

解析先根据解析式的特点列出条件，再根据正切函数的图象与性质解出函数的定义域.

答案由题意得即.

在内，满足上述不等式的x的取值范围是.

又的周期为，

所以所求x的取值范围是，

即函数的定义域为.

方法技巧此类问题常常归结为解三角不等式（组问题，这时可以利用正切函数的图象求解集.

变式训练2求下列函数的定义域.

（1）；（2）.

答案（1）要使函数有意义，

只需即，

所以函数的定义城为.

（2）由，得.

根据正切函数图象，得，

所以函数的定义域是.

探究点3与正切函数有关的函数的周期性与奇偶性

知识详解

一般地，函数的周期是.

函数是奇函数，函数是非奇非偶函数.

[特别提示]

若不知??的正负，则该函数的最小正周期为.

典例探究

例3（1）函数的最小正周期为____.

（2）判断下列函数的奇偶性：

①；②.

解析（1）利用周期公式求解；（2）先求定义域，再根据奇偶性的定义判断.

答案（1）

（2）①定义域为，关于原点对称，又，所以它是偶函数.

②定义域为，关于原点对称，,

又，所以它是奇函数.

方法指导与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略：

（1）一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期.

（2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断与的关系.

变式训练3下列函数为奇函数的是（）

A.

B.

C

D.

答案A

探究点4正切函数的单调性

知识详解

正切函数在每一个区间上都是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数，并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.

[特别提示]

函数的单调区间的求法即是把看成一个整体，解一即可.当时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间.

典例探究

例4（1）求函数的单调区间;

（2）比较的大小.

解析（1）可先用诱导公式将x的系数化为正数，再把看作整体，代入相应的区间，解出的范围；解（2）可先把角化到一个单调区间中，再