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摘要

本文主要论述拉格朗日中值定理在函数极限计算、不等式证明以及根的

存在性的判别这几个方面的应用.并给出实例进行说明.

关键词:关键词

拉格朗日中值定理可导连续

Lagrangemeanvaluetheoremandsomeapplications

Abstract

ThispapermainlydiscussestheLagrangemeanvaluetheoremin

computingfunctionlimit,theinequalityproofaswellastheroot

ofexistencetheoremforseveralaspectsofthisapplicationand

givesexamplestoillustrate.

Keywords:Lagrangemeanvaluetheoremcanbemediatedby

continuous

1引言

拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.

它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体

性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解决一些问题,下面将论

述拉格朗日中值定理在几个方面的应用.一．预备知识1.定理：若

函数f(x)满足如下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在

开区间(a,b)上可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f

(x)=也可变形为

f(b)−f(a)成立.定理的结论b−a

f(b)−f(a)=f(a+ϕ(b−a))(0ϕ1).b−a

2.拉格朗日中值定理的几何意义：若闭区间[a,b]内有一条连续曲

线,曲线上

每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M(c,f(c)),过点M的

切线平行于过点A(a,f(a)).B(b,f(b))的直线AB.

3.拉格朗日中值定理的证明：作辅助函数

ϕ(x)=f(x)−f(a)−

f(a)−f(b)(x−a).b−a

已知函数ϕ(x)在[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导.又ϕ(a)

=ϕ(b)=0.根据罗尔定理.在(a,b)内至少存在一点c.使得ϕ

(c)=0.而

f(b)−f(a)f(b)−f(a)于是ϕ(c)=f(c)−=0,

即b−ab−af(b)−f(a)f(c)=.b−a4.拉格朗日中值定理

和洛尔定理：

ϕ(x)=f(x)−

洛尔定理：若函数f(x)满足如下条件：（1）在闭区间[a,b]上

连续,（2）在开区间(a,b)上可导,（3）f(a)=f(b)则在(a,

b)内至少存在一点c,使得f(c)=0.通过比较可知洛尔定理是

拉格朗日中值定理的当f(a)=f(b)时的特殊形式.

5.拉格朗日中值定理和可惜中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定

理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定

理中g(x)=x时的特殊情况.可惜中值定理：若函数f(x)与g

(x)满足下列条件:

(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)上可导,且对∀

x∈(a,b),有g(x)=0,则在(a,b)内至少存在一点

ξ,使得

f(c)f(b)−f(a)=g(c)g(b)−g(a)

二、拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用若计算函数极限时,题

目中出现有f(b)−f(a)”“f(a)−f(b)”“型或型的

式子

,并且函

数f(x)在[a,b]连续,在(a,b)上可导,满足拉格朗日中值定理

的条件,此时可构造

“(a−b)

f(a)−f(b)a−b

”型或“(b−a)

f(b)−f(a)b−a

”型,利用拉格朗日中值定理转变为导

f(a)−f(b)a−b

数形式进行极限计算,方便快捷;若果其中出现“型或“

f(