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电荷周围产生的静电场的电势差与电势的公式与推导:

一场源电荷为Q,在距Q为r的A点有一点电荷为q,求证：此A

处电势φ=kQ/r

证明：设无穷远处电势为0，则在电场力的作用下，q从r处运

动到无穷远，电场力做功为qU.

将A到无穷远这段距离无限等分最远处距离为r0,A处为rn,(0，

1，2，……n为下标)

故每一等分段内电场力所做功之总和即为qU

由W=qU，U=Ed，E=kQ/rsup2;，d=r(n-1)-rn

得：

W=kQq*(r(n-1)-rn)/rnsup2;

所以有：

kQq*(r(n-1)-rn)/rn^2+kQq*(r(n-2)-r(n-1))/r(n-1)^2+……+kQq*(r2-

r3)/r3^2+kQq*(r1-r2)/r2^2+kQq*(r0-r1)/r1^2=qU

kQq*(r(n-1)-rn)/(rn*r(n-1))+kQq*(r(n-2)-r(n-1))/(r(n-1)*r(n-2))+…

…+kQq*(r2-r3)/(r3*r2)+kQq(r1-r2)/(r2*r1)+kQq*(r0-r1)/(r1*r0)=qU

因此，

kQ/rn-kQ/r(n-1)+kQ/r(n-1)-kQ/r(n-2)+……+kQ/r3-kQ/r2+kQ/r2-k

Q/r1+kQ/r1-kQ/r0=U

kQ/rn-kQ/r0=U

kQ/rn-0=φ-0

φ=kQ/rn,即φ=kQ/r

这种推证方法是错误的。

从①到②是通不过的。

首先，最开始的假定就有问题，“将A到无穷远这段距离无限等分最

远处距离为r0，A处为rn，(0，1，2，„„n为下标)”，那么r0

就是无穷大。要知道，无穷大不是一个数。一般不直接参与数的运算。

（有一门学科叫做“非标准分析”，里面会专门研究无穷大、无穷小）。

从rn到无穷大分成n段（n总是一个自然数吧），不论n有多大，

各段间的距离不会太小，而且至少有一段长度无穷大。即便n取为无

穷大，也有问题，也不能保证分成各段距离很小，另外，分成无穷多

段之后，①式求和也有问题——需要先证明它收敛，而对于不同的分

点的取法，其结果是不一样的，或者说，用①式求出来根本就不是电

场做的功。

从①到②是在r_k与r_(k-1)非常接近的情况下，r_k^2≈

r_k*r_(k-1)，当r_k与r_(k-1)非常接近时，从r_k处到r_(k-1)

处场强变化非常小，可以近似认为是这么小一段距离电场强度是均匀

的，所以，电量为q的电荷从r_k处运动到到r_(k-1)处，电场做功

为kQq*(r_(k-1)-r_k)/(r_k)^2≈

kQq*(r_(k-1)-r_k)/(r_k*r_(k-1))

如果直接把无穷远处和rn之间分成n段，也无法保证每一段距离都

很小（如果每一段都是1米甚至1公里也是可以的），①算出来的结

果本身就是错误的，在此基础上的推证当然也是错误的。从①式无法

正确推演到②式。

正确的证法是：

先证明在与电荷Q相距为a、b的两处(假定这两处与电荷Q位于同一

直线上)的电势差为kQ/a-kQ/b，再令b→∞，于是得出，与电荷Q

相距为a的地方的电势和无穷远处的电势之差为kQ/a，如果把无穷

远处的电势设为0，那么，与电荷Q相距为a的地方的电势为kQ/a。

在证明“与电荷Q相距为a、b的两处的电势差为kQ/a-kQ/b”的过

程中，需要先把a、b之间分成n段，n需要足够大，使得r_k与r_(k-1)

非常接近，然后得出电势差的近似表达式为①式，在通过近似计算得

到②式，②式之后的推理都是严格的演绎推理，或者说是恒等变形。

当n→∞时，电势差的精确表达式就是①式，而①、②两式左边表达

式之差就趋于0，当然认为两者变得严格相等。这里已经有一个对n

求极限的过程。

那种推证错误的原因在于把对n求极限与对b求极限交换顺序，学过

微积分都应该知道，取两次极限是不能随便交换顺序的（一定要有内

闭一致连续的条件才行），否则结果就可能错误。虽然在经过两次错

误的基础上得到的结论与正确结果一致，但是从根本上说，推证的前

提条件已经是错误的，并不因结果而改变。

可见所谓“净电荷”是指整个导体或导体的某部分（静电感应时）的正负电荷之差