拉格朗日中值定理几何意义.pdf

拉格朗日中值定理几何意义

几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一

点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),

使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

物理意义：对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置

（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是

柯西中值定理的特殊情形。法国数学家拉格朗日于1778年在其着作《解

析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定

理命名为拉格朗日中值定理。

如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，

使得f(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。

证明：

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-

a)}x。

做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)。

易证明此函数在该区间满足条件:

1.g(a)=g(b)=0；

2.g(x)在[a,b]连续；

3.g(x)在(a,b)可导。

此即罗尔定理条件，由罗尔定理条件即证。