中值定理的分析性质研究【文献综述】 .pdfVIP

毕业论文文献综述

数学与应用数学

中值定理的分析性质研究

一、前言部分

微分中值定理是微分学的基本定理之一，研究函数的有力工具．微分中值定理有着明显

的几何意义和运动学意义．以拉格朗日(Lagrange)微分中值定理为例，它的几何意义：一个



[a,b](a,b)f(x)

在上连续，在内可微的曲线段，必有(a,b)，曲线在点(,f())的切

(a,f(a))(b,f(b))f

线平行于连接点与的割线．它的运动学意义：设是质点的运动规律，

则质点在时间区间[a,b]上走过的路程为f(b)f(a)，在(a,b)上的平均速度为

f(b)f(a)

(a,b)

，存在的某一时刻，质点在的瞬时速度恰好是它的平均速度．

ba

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了．它首先是法国著名的数学家

费马于1637年给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理．1691年，法国

(Rolle)1797

数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理．年，法国数

学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明．对微分中值

(Cauchy)

定理进行系统研究的是法国数学家柯西，他首先赋以中值定理重要的作用，使其成

为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理—柯西定理.

二、主题部分

一、微分中值定理产生的历史

文献[1]和[2]中说到了微积分学简史，费马对微积分作出过重要的贡献．他在研究极

大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理．所

f(x)xxef(x)

谓的虚拟等式法，用现代语言来说，对于函数，让自变量从变化到，当

f(xe)f(x)

f(x)f(xe)0e0

为极值时，和的差近似为，用除虚拟等式，，然后

e

e00f(x)xx

让，就得到函数极值点的导数值为，这就是费马定理：函数在处取极

0

值，并且可导，则f(x)0．应该指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并

0

没有明确导数，极限连续的概念，用现代眼