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浅谈微分中值定理在证明中的应用

作者：李娜

来源：《科教导刊》2018年第04期

摘要本文结合几道有关中值定理方面的典型例题，针对学生在学习中的难点进行详细的

分析，从三个方面进行总结和归纳。

关键词微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理构造法

中图分类号：O172.1文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.02.025

ApplicationofDifferentialMeanValueTheoreminProof

LINa

（ZhengzhouTechnologyandBusinessUniversity，Zhengzhou，Henan451400）

AbstractInthispaper，sometypicalexamplesofthemeanvaluetheoremarediscussed，and

thedifficultiesinlearningareanalyzedindetailandsummarizedfromthreeaspects.

Keywordsdifferentialmeanvaluetheorem；rollestheorem；lagrangesmeanvaluetheorem；

cauchymeanvaluetheorem；constructionmethod

在“高等数学”这门课中，微分中值定理是微分学部分应用的基础，是用微分法研究函数性

态的重要工具，是从研究函数的局部性质到研究函数的整体性质的桥梁，因此能恰当地应用微

分中值定理就显得尤为重要。

微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理等的统称，利用

微分中值定理可以证明方程根的存在性，证明等式或不等式的成立。由于它的应用难度较大，

很多学生在学习这部分的内容时一头雾水，下面从几个方面对微积分定理在证明中的应用进行

详细的分析。

利用中值定理证明方1程根的唯一性

例证明方程有且只有一个小于1的正根。

析“有”表示方程的根存在，需用到零点定理，“只有一个”表示方程的根是唯一的，需用到

罗尔定理来做。

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证（1）存在性令，则在[0，1]上连续，且，由零点定理可知，（0，1），使得。

即是方程的小于1的正根。

（2）唯一性（反证法）设方程另有一根（0，1），且使得。不妨设，由于在上满足罗尔

定理的条件，至少存在一个，使得。这与矛盾。

故方程有且只有一个小于1的正根。

利用中值定理证明等式的成立2

例证明恒等式，。

析要想证明该等式成立，需分两步来证：首先需证等式左边的函数是一个常值函数，然

后证明这个常数就是等式右边的数值。

证设，则

。由拉格朗日中值定理的推论可知，。又因当时，，故，。

例设在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且，证必有一点，使得。

析要使成立，即需成立。变形得，即。因此需要构造辅助函数，利用罗尔定理来进行证

明。

证设，则在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且（0）=（1）=0，由罗尔定理可知（0，

1），使得。又因，得，也即成立。

例设在上连续，在内可导，求证存在一点，使得。

析所证结论可看作

，也即。故需利用拉格朗日中值定理进行证明。

证设，在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。由拉格朗日中值定理可知，使得。又因，

得，得证。

例设，在上连续，在内可导，求证存在一点，使得

析要证，即证。因此需设，利用柯西中值定理进行证明。

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证设，则均在上连续，在内可导，且。。由柯西中值定理可知，，使得。

代入整理即得，即，证毕。

利用中值定理证明不等式的成立3

例证明不等式成立。

析对于此类的不等式，一般都是从中间项入手，结合拉格朗日