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浅论拉格朗日中值定理在数列放缩上的应用.pdfVIP

浅论拉格朗日中值定理在数列放缩上的应用.pdf

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这篇文章大概是数月前写的,当时只给征哥看了,现在想想,还是改改发上

来,因为发现很多同学其实还并不了解这种方法。真心希望大家能有所收获,当

时我发现这种方法的时候着实兴奋了一把。



ξ

拉格朗日中值定理:在连续可导函数fx的闭区间a,b上,必有一点使



fbfa



f

得ξ。亦即,割线斜率必等于中间某点的切线斜率。这在图像

ba

上是很显然的。

乍看上去,这个定理似与数列放缩没半点关系,其实不然。



fbfa



f

ξ,这不就是把一个项变成两项之差么?如果我调这个区间的

ba



长度为1,或者说令ba1,那么fξfa1fa,这不就是裂项么?当

然这里存在一个问题,这个式子只能用来裂等式,不过,我们只需借助单调性,



aξa1

即可使它具备这种功能。假设fx单调递增,那么由于,就有



fafξfa1,取我们需要的一头,比如要做不足近似,就取



fafξfa1fa。裂项成功。接下来的事情就容易多了。

n



fifn1fnfnfn1f2f1fn1f1。结

i1

束。

拉式中值定理裂项的关键步骤是,找出a的原函数(它的上一级函数,它

n

的积分)并判断单调性,确定选择不足或过剩近似。就拿这次期末题作例,求证

n11





lnn1。的原函数是Fxlnx单增。所以

fx

ix

i1



fxfξfx1。我们要做过剩近似,取fx1fξFx1Fx。

1

即要证。前面这些都是草稿纸上的内容,真正写的只有

lnx1lnx

x

1



lnx1lnx,上一问还给铺垫了,有它之后累和一下,

x

n1



lnn1lnnln2ln1lnn1证毕。

i

i1

要注意的一点是,由于

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