2.5等腰三角形的轴对称性（解析版）.pdfVIP

2.5等腰三角形的轴对称性

【推本溯源】

1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？

AA

BCBC

D

几何语言说明：由题意得AB=AC，∠BAD=∠CAD，

ABAC



在▲ABD和▲ACD中，∠BAD∠CAD

ADAD



∴▲ABD≌▲ACD（SAS）

所以三角形ABD和三角形ACD重合。

所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。

由此可以发现，等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

并且得到下面定理：

（1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）

几何语言：∵AB=AC∴∠B=∠C

（2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）

几何语言：

（1）已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言：

∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD∴AD⊥BC，BD＝CD

（2）已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言：

∵AB＝AC，BD＝CD∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC

（3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言：

∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD

2.按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。

作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D；

（3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的

等腰三角形。

3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．

方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C，

∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．

方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°

，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．

因此，可以得到有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）

几何语言：∵∠B＝∠C∴AB=AC

4.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。

（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？

等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。

已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。

证：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B

∴∠A=∠B=∠C

∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A=∠B=∠C=60°

因此，等边三角形的各角都等于60°。

几何语言：∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°

5.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？

已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC

证：∵∠A=∠C，∠A=∠B

∴AB=BC，BC=CA

∴AB=AC=BC

∴▲ABC是等边三角形

因此，三个角都相等的三角形是等边三角形。

几何语言：∵∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等边三角形

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？

已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形

证：