黑龙江省哈尔滨市第一中学2025届高三上学期期中考试数学试卷.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

黑龙江省哈尔滨市第一中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合，则（????）

A． B．R C． D．?∞,1

2．已知复数，则下列结论正确的是（????）

A． B．的虚部是

C．在复平面对应的点位于第三象限 D．

3．设向量，则（）

A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件

C．“x=0”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件

4．设等差数列的前项和为，且满足，则当取得最小值时，的值为（????）

A．10 B．12 C．15 D．24

5．若，则（????）

A． B． C． D．

6．已知函数，且满足，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

7．将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（????）

A．在区间上为增函数 B．

C． D．

8．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为

A．2 B． C．3 D．

9．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（????）

A． B．4 C．8 D．或8

10．已知函数的定义域为，且满足的导函数为，函数为奇函数，则（????）

A． B．3 C． D．1

二、多选题

11．已知a0，b0，且a+b=1，则（????）

A． B．

C． D．

12．等差数列中，，则下列命题正确的是（????）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则，

13．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（????）

A．

B．在向量上的投影向量为

C．若，则为的中点

D．若在线段上，且，则的取值范围为

三、填空题

14．函数在点处的切线方程为.

15．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是.

16．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为.

四、解答题

17．已知向量，，且函数在上的最大值为．

(1)求常数的值；

(2)求函数的单调递减区间．

18．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当，证明：.

19．的内角的对边分别为，，，满足.

(1)求证：；

(2)求的最小值.

20．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：

(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；

(2)求的最大值；

(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

C

B

B

C

D

B

D

B

题号

11

12

13

答案

ABD

ACD

BD

1．C

【分析】化简集合A,B，根据交集的定义计算．

【详解】因为集合，

化简，所以.

故选：C．

2．A

【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，复数的几何意义，复数的模，以及共轭复数的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】由复数，

对于A中，由，所以A正确；

对于B中，复数的虚部为，所以B错误；

对于C中，复数在复平面内对应的点为位于第二象限，所以C错误；

对于D中，复数的共轭复数为，所以D错误.

故选：A.

3．C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可.

【详解】对A，当时，则，所以，解得x=0或，即必要性不成立，故A错误；

对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；

对C，当x=0时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；

对D，当时，不满足，所以不成立，即充