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线性规划讲义

一、引言

线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。本讲义将介

绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。

二、基本概念

1.线性规划模型

线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。目标函数是要最小化或者

最大化的线性表达式，而约束条件是对决策变量的限制条件。

2.决策变量

决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。决策变

量通常用符号x表示。

3.约束条件

约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式约束或者不等式约束。等式约

束表示某些决策变量之间的关系，不等式约束表示某些决策变量的取值范围。

4.目标函数

目标函数是线性规划模型中要最小化或者最大化的线性表达式。它通常由决策

变量和系数构成。

三、模型建立

1.确定决策变量

根据问题的具体情况，确定需要决策的变量，并用符号x表示。

2.建立目标函数

根据问题要求，建立一个线性表达式作为目标函数。目标函数可以是最小化或

者最大化的。

3.建立约束条件

根据问题中给出的限制条件，建立一组线性不等式或者等式作为约束条件。每

一个约束条件都要写成决策变量的线性表达式。

4.确定变量的取值范围

根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。这些范围可以是非负数、整

数或者其他限制条件。

四、求解方法

1.图形法

当决策变量的个数较少时，可以使用图形法来求解线性规划问题。图形法通过

绘制约束条件的图形，并找到目标函数的最优解。

2.单纯形法

单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。它通过迭代计算，逐步逼近

最优解。单纯形法的核心是构造单纯形表，并进行基变量的选择和迭代计算。

3.整数线性规划

当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法来求解。整数线性规

划是一种复杂的优化问题，通常需要使用分支定界等算法来求解。

五、案例分析

以一个生产计划问题为例，假设一个工厂有两个产品A和B，需要决定每一个

产品的生产数量，以最大化利润。产品A每一个单位的利润为10元，产品B每一

个单位的利润为8元。工厂有以下限制条件：每天可用的材料总量为100个单位，

每天可用的工时总量为80小时。产品A的生产需要2个单位的材料和4小时的工

时，产品B的生产需要3个单位的材料和5小时的工时。求解最优的生产计划。

1.确定决策变量

假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2.建立目标函数

目标函数为最大化利润，即10x+8y。

3.建立约束条件

约束条件为材料总量和工时总量的限制，即2x+3y≤100和4x+5y≤80。

4.确定变量的取值范围

由于生产数量不能为负数，所以x≥0和y≥0。

5.求解最优解

通过单纯形法或者其他方法，求解上述线性规划模型，得到最优的生产计划。

六、总结

线性规划是一种重要的数学优化方法，能够在线性约束条件下求解目标最优化

问题。本讲义介绍了线性规划的基本概念、模型建立和求解方法，并通过一个实际

案例进行了分析。希翼通过学习本讲义，读者能够掌握线性规划的基本原理和应用

技巧，进一步提升问题求解能力。