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高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理

首先我们来看看几大定理:

1、介值定理：设函数f（x)在闭区间[a，b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f（b)=B，

那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ使得f（ξ）=C(aξb）。

Ps:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x）在［a,b]上有最大值M，最小值m，若m≤C

≤M,则必存在ξ∈[a，b]，使得f（ξ)=C。（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间

的任何值.此条推论运用较多）

Ps：当题目中提到某个函数f（x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函

数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一

个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理:设函数f(x)在闭区间［a，b]上连续，且f（a)与f(b)异号，即f(a).f(b)0,那么在开区间内

至少存在一点ξ使得f(ξ）=0.

Ps：注意条件是闭区间连续,端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0。

3、罗尔定理:如果函数f(x)满足：

（1)、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a，b)内可导;

(3）、在区间端点处函数值相等，即f（a）=f（b).

那么在(a，b）内至少有一点ξ(〈aξb），使得f`(x)=0;

4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间［a，b］上连续;

（2）、在开区间（a，b)内可导；

那么在(a，b）内至少有一点ξ(〈aξb)，使得

f（b)—f(a）=f`（ξ).(b-a）.

5、柯西中值定理：如果函数f（x)及g（x)满足

(1）、在闭区间[a，b］上连续；

（2)、在开区间(a,b）内可导;

(3）、对任一x(a〈xb），g`(x)≠0，

那么在（a,b)内至少存在一点ξ,使得



f(b)f(a)f`()





g(b)g(a)g`()

Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

b





f(x)dxf()(ba)

6、积分中值定理:若函数f（x）在[a，b]上连续，则至少存在一点[a,b]使得

a

Ps:该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的,下面我们来证明下其在开



区间内也成立，即定理变为：若函数f（x)在[a，b］上连续,则至少存在一点(a,b)使得

b





f(x)dxf()(ba)

a

x

