拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用.pdfVIP

拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用

拉格朗日中值定理（Lagrangemeanvaluetheorem）是微积分中的一种工具，它可以

用来探究函数在某个区间上的变化情况，也可以搭配其它工具推导出函数的某些性质，因

此被广泛地应用在微积分解题中。下面，本文将介绍拉格朗日中值定理在微积分解题中的

应用。

一、函数单调性的判断

当我们需要判断函数$f(x)$在某个区间上是否单调时，一种比较简单的方法是求出

$f(x)$，然后观察其符号。但是，对于那些比较复杂的函数来说，求导并不是一件容易

的事情，因此，我们可以考虑运用拉格朗日中值定理来推导$f(x)$在某个区间上的单调

性。

设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续且可导，且$f(a)f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$，使

得$f(\xi)0$。

上述结论的推导可以用反证法的思想，首先假设$f(x)$在区间$[a,b]$上是非单调的，

那么必定存在$x_1x_2x_3$，使得$f(x_1)f(x_2),f(x_3)f(x_2)$，而根据费马定理的

结论，存在$x_4\in(x_1,x_2)$，使得$f(x_4)=0$，存在$x_5\in(x_2,x_3)$，使得

$f(x_5)=0$，那么分别对$[x_4,x_2]$和$[x_2,x_5]$应用拉格朗日中值定理，得出存在

$\xi_1\in(x_4,x_2),\xi_2\in(x_2,x_5)$，使得$f(\xi_1)0,f(\xi_2)0$，但这与

$f(x)\geq0$矛盾，因此假设不成立，结论得证。

二、实数幂指数函数的等价无穷小

在微积分中，我们经常需要比较两个函数在某个点附近的变化趋势，这时候我们可以

利用实数幂指数函数的等价无穷小准则，尤其是拉格朗日中值定理可以为此提供较好的基

础。

设$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{u(x)}{v(x)}=1$，其中$u(x),v(x)0$，则

存在$\xi\in(0,x)$，使得$u(x)=v(x)(1+\alpha(x))$，其中$\alpha(x)$为$x$的高阶无

穷小。

利用拉格朗日中值定理，我们可以得到：

$$u(x)-v(x)=u(\xi)v(\xi)$$

三、函数的逼近

在微积分中，当一个函数很难直接处理时，我们可以考虑逼近其它函数来达到简化处

理的目的，而一个常用的方法就是利用拉格朗日中值定理。

这个结论的推导依赖于连续函数的定义，我们可以构造一个逼近函数：

$$g(x)=f(\xi)+(\varepsilon-\frac{1}{2}\varepsilon^2)h(x)(f(b)-f(a))$$

其中$h(x)\in[0,1]$，且满足$h(\xi)=1$。根据连续函数的定义，当$h(x)$充分小的

时候，$g(x)$可以无限逼近$f(x)$，因此我们可以将$\varepsilon$固定在一个很小的数

上，这样就可以得到一个非常接近$f(x)$的函数$g(x)$，同时要注意的是，对于$\xi$的

选择应该依赖于$f$的特点来确定。

四、函数的分析

以极值为例，假设$f(x)$在$a$处取得极大值，那么存在$\delta0$，满足

$x\in(a-\delta,a+\delta)$时，有$f(x)f(a)$，而根据拉格朗日中值定理，

$f(a)-f(x)=(a-x)f(\xi)$，因此对于任意的$x\in(a-\delta,a+\delta)$，都有

$f(\xi)0$，这说明在$a$处取得极值的时候，$f(a)=0$。同样的，我们也可以利用拉

格朗日中值定理证明拐点的存在以及求出其坐标。