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微分中值定理的证明、推广以及应用

作者：张迎喜

来源：《读写算》2012年第08期

【摘要】微分中值定理在高等数学中占有非常重要的地位，微分中值定理主要包括：拉

格朗日中值定理，罗尔中值定理，以及柯西中值定理。本文主要对罗尔中值定理的条件做一些

适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几

何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造

函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以

推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数

极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。

【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理证明推广应用

引言1

在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结

论之一,也是最基本的定理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区

间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以

看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间推广到了区间由推广到了区间

（-∞，+∞），由（a）=f（b）推广到(有限或±∞而).将拉格朗日中值定理中的可微条件

适当放宽,使其具有更加广泛的意义.

罗尔定理2

若函数f满足如下条件：

在闭区f间［a，b］上连续,

在开区f间（a，b）内可导,

（a）f=f（b）

则在（a，b）內至少存在一点c,使得、（c）=0.

罗尔定理的推广2.1

定理1：设(a,b)为有限或无穷区间在(a,b)内可微且（有限或）±∞,

则∈,使得、（c）=0.

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证明：先证A为有限数的情形,若使f（x）=A,则、（x）=0,所证显然成立.

若f（x）=A不成立,则存在∈（a，b）,使得f（）≠A,

设＞A（对＜A同理可证）,

由于=A,

因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数μ(A＜μ＜f(x)）,

∈

使得（）=f（）

在闭区间［］上用罗尔定理,

可得使得、（c）0,

再证A+∞,的情形（A=-∞,的情形,同理可证）.

由于=+∞,

取定∈(a,b)及μ＞

则由于f(x)在(a,b)内连续,故∈使得

在闭区间［］上用罗尔定理,可得使得、（c）=0.

定理2.21的5条推论

推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=A≠∞,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得

、（c）0.

推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+∞,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得、

（c）0.

若=-∞,结论同样成立.

推论3：设f（x）在（-∞，+∞）可导,且==A,则在(-∞，+∞)至少存在一点,使得、（c）

0.

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推论4:设f（x）在（-∞，+∞）可导,且+∞，=+∞,则在区间(-∞，+∞)内至少存在一点c,使

得、（c）0.

若=-∞，=-∞,结论同样成立.

推论5：设f（x）在（a，+∞）可导,且==A,则在(a，+∞）至少存在一点c,使得