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应用拉格朗日中值定理

应用拉格朗日中值定理是指利用拉格朗日中值定理来

解决复杂问题，从而获得精确结果的过程。拉格朗日中值

定理又被称为拉格朗日多元函数定理或者拉格朗日函数定

理，是法国数学家拉格朗日在18th世纪发明的一个重要定

理，它表明当一个n次多项式在n+1个不同点上取得相同

的值时，此多项式必然等于零，即所谓拉格朗日中值定

理，即拉格朗日多项式f(x)在n+1个不同的点

x_0,x_1…x_n上取得相同的值，则f(x)=0。

应用拉格朗日中值定理可以帮助我们快速解决复杂问

题，求解多项式的方程，计算函数的极值点，求解微分方

程等。首先，在多项式的每个尖点处取得一定的值，然后

将该多项式代入拉格朗日中值定理，构成一个系统的多元

方程，最后再利用合适的数学方法求解该系统方程，就可

以得出多项式的相应解。

首先，要使用拉格朗日中值定理，必须要明确所要解

决的问题，并给出所有多项式的尖点，即确定x_0,

x_1,...,x_n这n+1个点。然后，在每个尖点处取得一

定的值，进而构成一个系统的多元方程，这时就可以利用

合适的数学方法来求解这个多元方程，从而得出多项式的

解。

例如，求解3次多项式f(x)=ax^3+bx^2+cx+

d(a≠0)在x_0,x_1,x_2,x_3处的值分别为y_0,

y_1,y_2,y_3时的系数a,b,c,d，我们可以用拉格朗日中

值定理。首先，我们在x_0,x_1,x_2,x_3处取得y_0,

y_1,y_2,y_3的值，然后将f(x)代入拉格朗日中值定

理，构成一个系统的多元方程：

\begin{cases}ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d=

y_0\\ax_1^3+bx_1^2+cx_1+d=y_1\\a

x_2^3+bx_2^2+cx_2+d=y_2\\ax_3^3+b

x_3^2+cx_3+d=y_3\end{cases}

这时就可以利用矩阵消元法求解上述多元方程，得出

多项式的系数a,b,c,d，从而得出f(x)的解。

另一个应用拉格朗日中值定理的例子是求解函数的极

值点。例如，求解函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a

≠0)的极大值点，我们可以用拉格朗日中值定理，首先

求解函数在极大值点处的导数值，然后将导数值代入拉格

朗日中值定理，构成一个系统的多元方程，最后再利用合

适的数学方法求解该系统方程，就可以得出函数的极大值

点。

总之，拉格朗日中值定理是一个强大的定理，它可以

帮助我们快速解决复杂问题，求解多项式的方程，计算函

数的极值点，求解微分方程等。此外，它还可以帮助我们

快速地计算多项式的系数，从而求解多项式的解，以及求

解函数的极大值点。