数值分析方法 课件 5-1-1 非线性方程的近似求根.pptx

数值分析方法主编李冬果李林高磊首都医科大学生物医学工程学院智能医学工程学学系面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材

第五章非线性方程的数值解法

目录/Contents5.1-1非线性方程的近似求根5.2非线性方程组的数值解5.3非线性方程近似求根计算机实验5.1-2非线性方程的迭代法的加速

引言在科学研究和工程设计中，经常会遇到一类求解非线性方程：方程的根，亦称为函数的零点.一般地，若为多项式，称方程为n次代数方程，当n＞1时，方程显然是非线性的；而称三角方程、指数方程、对数方程等为超越方程.通常3次以上的代数方程或超越方程，很难甚至无法求得精确解，数值解法可以借助于计算机完成求解.?

求非线性方程的根的方法分为两步：计算根的近似值确定方程的有根区间:由零点定理设，且，则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负，则此根唯一。5.1非线性方程的近似求根

5.1.1二分法二分法的基本思想是将有根区间二等分，通过判断的符号，逐步对半缩小有根区间，直至有根区间缩小到容许误差范围之内，然后取区间的中点为根的近似值.第一步令计算有根区间的中点若，则为有根区间，否则为有根区间，记新的有根区间为，则

第二步对重复上述做法得，设所求的根为，则取为的近似解.且有误差估计式：

对于预先给定的精度，只要，即便有，这时就是满足精度要求的近似值.

求方程f(x)=0的根的二分法算法python实现可以编写函数bisection来实现二分算法，代码如下：defbisection(f,a,b,ep=1e-8):#首先判断有哪些信誉好的足球投注网站区间是否包括所求根iff(a)*f(b)0:raiseException(区间端点处函数值符号不应相同！)#进入迭代whileTrue:x0=(a+b)/2iff(x0)==0:returnx0iff(x0)*f(a)0:b=x0else:a=x0ifabs(b-a)ep:returnx0.

例5.1.1证明方程在区间[1.0,1.5]内有且只有一个实根，且使用二分法求误差不超过0.005根至少迭代6次.解：因为，所以方程的有根区间为[1.0,1.5],对给定的误差不超过0.005，有故只要迭代n=6次便能达到所要求的精度.

任取初值，代入中的右端得到，再以为初值代入方程（1），得到，反复迭代得如下数列：5.1.2不动点迭代法非线性方程的等价方程（1）其中为x的连续函数.方程（1）的解称为函数的不动点.（2）称式(2)为求解非线性方程的不动点迭代法，称为迭代函数.

若收敛，即则得是的一个根

迭代法的几何意义交点的横坐标

解：由建立迭代计算结果如下:例5.1.1试用迭代法求方程在区间(1，2)内的实根。格式k=0,1,2,3…….精确到小数点后五位

但如果由建立迭代公式仍取，则有，,显然结果越来越大，是发散序列.迭代函数满足什么条件，才能保证迭代过程?是收敛的？