数值分析方法 课件 第六章 常微分方程数值解法.pptx

数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;含未知函数及其导数的方程叫做常微分方程

如果未知函数是多元函数且方程中含有未知函数的偏导数则称其为偏微分方程

常微分方程中未知函数导数的阶数称为微分方程的阶数

含有任意常数的函数满足微分方程且任意常数的个数与微分方程的阶数相等称为该常微分方程的通解

既满足微分方程且适合初值条件的解称为该微分方程初值问题的特解

;6.1.1微分方程模型举例;因此求解满足;例6.1.2振动模型介质中质量为m的质点，假定处在弹性约束之下作一维振动(即仅需一个位置参数就可完全描述质点状态的运动)，通常以弹簧作为这类一维弹性振动的代表模型（图6-1）。;已知质点在介质中运动所受阻力与质点速度成正比，根据牛顿第二定律，;?;?;SIS模型只把人群分为S类和I类，患者病愈后并未产生免疫力，仍未S类成员。SIS模型中各类人员的相互作用关系如图6-2所示。;?;?;SIR模型考虑S类、I类和R类人群，且I类人病愈后具有免疫能力，不会被传染而进入I类。S，I，R三类人口的关系如图6-3所示。;?;?;例6.1.4洛伦兹方程考虑底部受热的均匀厚度的水平流体层。设底部温度高于顶部温度，且流体受到重力作用。当底部流体受热膨胀时，下面流体密度小于上面流体密度，于是在重力场的作用下，上面流体有下沉的趋势，而下面流体有上浮的趋势。当温度梯度较小时，由于流体粘性的阻碍，流体仍处于静止状态，在流体内部只有热传导，温度随高度呈线性变化。然而当温度梯度较大时，流体的静止平衡状态失稳，出现对流现象。这一流体的运动可以用一个复杂的偏微分方程表示。;?;?;6.1.2微分方程数值解;对于一个由多个变量构成微分方程系统，或称微分方程组，本质上解法是一样的。一般地，一个由n个方程组成的方程组，具有如下形式;?;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.2微分方程初值问题的Euler方法;?;?;6.2.2隐式Euler公式与改进Euler公式;?;?;?;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.3初值问题数值解的误差与稳定性分析;?;?;?;?;?;?;6.3.2收敛性与稳定性分析;?;?;?;?;?;?;?;2.数值方法的稳定性;?;?;?;?;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.4.微分方程初值问题的Runge-Kutta法;?;?;?;?;例6.4.1用二阶Runge-Kutta公式（6.4.2）求解初值问题（6.2.3）。;二阶Runge-Kutta公式（6.4.2）所求解与改进Euler方法所求解具有基本一致的误差，图6-4（右）为两种算法与精确解比较的结果，其中菱形与圆点数据分别表示相同节点处精确解分别与二阶Runge-Kutta公式（6.4.2）所求解和改进Euler方法所求解之差。可以看出二种算法有微小差别。;6.4.2三、四阶Runge-Kutta法;?;?;?;?;?;计算的结果见图6-5，其中实心方块为精确解，实心三角为三阶Runge-Kutta公式，空心三角为二阶Runge-Kutta公式所求结果，空心方块为改进Euler方法所求解。;?;?;?;?;?;?;?;6.4.3隐式Runge-Kutta法;?;?;?;?;?;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.5非线性微分方程组初值问题的

龙格-库塔法;?;?;?;?;?;?;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.6线性多步方法;6.6.1线性多步方法的构造;?;?;?;?;?;6.6.2线性多步方法的应用及预测-校正方法;?;?;?;2.预测-校正方法;2.线性多步方法的收敛性与稳定性;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.7微分方程组的刚性问题;?;?;?;?;?;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.8二阶微分方程的边值问题;6.8.1二阶微分方程边值问题的打靶法;?;?;?;?;?;?;?;6.8.2二阶线性微分方程边值问题的差分法;?;?;?;?;?;?;?;?;?;?;谢谢;数值分析方法;第六章常微分方程数值解法;目录/Contents;目录/Contents;6.9