数值分析方法 课件 第五章 非线性方程的数值解法.pptx

数值分析方法;第五章非线性方程的数值解法;目录/Contents;引言;求非线性方程;5.1.1二分法;第二步对重复上述做法得;对于预先给定的精度，只要，即;求方程f(x)=0的根的二分法算法python实现;例5.1.1证明方程在区间[1.0,1.5]内有且;任取初值，代入中的右端得到，再以为初值代入方程（1），得到，反复迭代得如下数列：;若收敛，即

则得是的一个根;迭代法的几何意义;解：由建立迭代

计算结果如下:;但如果由建立迭代公式;迭代法的收敛性;压缩映像原理;;;压缩映像原理;区间[a,b]上的收敛性称为全局收敛性;敛的.;证毕;的迭代结果;谢谢;数值分析方法;第五章非线性方程的数值解法;目录/Contents;5.1.3迭代法的加速;(1);(2);Aitken加速：;;Steffensen迭代格式几何解释：;?;斯蒂芬森加速可使原本不收敛的迭代改进到收敛.;;几何意义：;Newton迭代法收敛性;例牛顿法求方程;;牛顿法的计算结果;通过逐次取半进行试算，当时可求得;（2）计算较困难.;几何意义;;——密勒（Müller）法;;例5.1.9用抛物线法求解方程;在一定条件下可以证明：;谢谢;数值分析方法;第五章非线性方程的数值解法;目录/Contents;5.2非线性方程组的数值解;通常非线性方程组（1）的数值解法主要包括两种方法：

区间迭代法和不动点算法;且有误差估计式;例5.2.1设有非线性方程组

;;取初始点，由迭代公式（7）计算结果如表，

;2.Newton迭代法;（9）;事实上，在实际计算过程中由于矩阵的逆求解十分耗时，因此通常通过求解线性方程组来替代.如第k步可令先解线性方程组;例5.2.2用Newton法解例5.2.1的方程组

;求出后，。同理计算结果如表，可见迭代4次可得精确解，显然Newton法的收敛速度比例5.2.1中的迭代法要快的多。

;例5.2.3用牛顿法解方程组;解线性方程组;例5.2.4用修正牛顿法解方程组在附近的解.;于是得??的近似值为;3.最速下降法;即在射线;最速下降法计算步骤如下：;例5.2.5用最速下降法求解问题：;（3）从出发进行第二次迭代，计算;（4）进一步从出发进行第三次迭代，计算;谢谢;数值分析方法;第五章非线性方程的数值解法;目录/Contents;5.3非线性方程近似求根计算机实验;;2.Newton法算法实现牛顿算法是一种迭代算法，需要;首先需要定义函数function1和它的导函数dfunction1。

function1=lambdax:x**3-x-1

dfunction1=lambdax:3*x**2–1

将函数及其导函数代入牛顿法函数，定义初值为1.0，其他参数采用默认值，即：

x2=newton_method(function1,dfunction1,1.0)

得到方程近似解为1;3.非线性方程组的牛顿迭代法;?;谢谢