圆锥曲线的方程 椭圆的简单几何性质（1课时）教学设计.docx

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第三章圆锥曲线的方程

3.1.2椭圆的简单几何性质（1课时）

【教学内容】

椭圆的简单几何性质。

【教学目标】（说明：不要写成三维目标的形式，点列，可以从知识技能、过程方法、数学核心素养等角度写目标）

能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，用椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单儿何性质，并能用它们解决简单的问题，从中体会用曲线的方程研究曲线性质的方法，发展直观想象、数学运算、逻辑推理素养．

【教学重难点】

重点：椭圆的简单几何性质．

难点：椭圆的离心率．

【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）

一、教学过程——创设情境，提出问题

问题1：前面已经学习了椭圆的概念与椭圆的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？

明确：应研究椭圆的几何性质

追问：你觉得应研究椭圆的哪些几何性质？如何研究？

明确：通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置。所以应研究椭圆的范围、对称性、顶点、扁平程度等，研究的基本思路与方法与利用直线方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，先“形”后“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程进行计算和推理．

二、教学过程—探究性质，体悟思想方法

1.范围

问题2：观察图3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？

思路具体化：用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围，即需寻找不等关系。

分析：观察方程x2a2+y

由此可以利用非负性建立不等关系

由方程可知y2b2

所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式x2

即?a≤x≤a.

同理有y2b2

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框里（图3.1-7)。

2.对称性

问题3：观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？

思路：图形对称的本质是图形上点的对称性，因而只需证明椭圆上任意一点P(x,y)关于对称轴或原点的对称点也在椭圆上即可。

即用-x代x?，方程不变，则曲线关于y轴对称

用-y代y?，方程不变，则曲线关于x轴对称

用-x?与-y分别代x

分析：在椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)中，以-

同理，以-x代x?，方程也不变，这说明如果点P(x,y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P2(x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于y

以-x代x?，以-y代y?，方程也不变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P3(?x,?y)

综上，椭圆关于x轴、y轴都是对称的。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3.顶点

问题4：观察椭圆，你认为椭圆x2a2

特殊点：椭圆与坐标轴的交点.这些点是x，y取得最大值或最小值的点，或曲线与其对称轴的交点.

分析：在椭圆的标准方程x2a2

令x?=0,得y=±b?.因此B1（0,-b?),B

同理，令y=0，得x=±a?。因此A1（-a,0),A2（

因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点（图3.1-8）。

线段A1A2叫做椭圆的长轴,长轴长等于2a.线段B1

4.离心率

思考，观察图3.1-9，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同。扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？

问题5：曲线的形状是由曲线方程的参数决定的，由a2=b2+c2可知，椭圆的形状由a，

保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a?，椭圆越扁平

类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c?，椭圆越扁平；

而当a?，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.

这样，可以利用c和a两个量，刻画椭圆的扁平程度.

追问：教科书为什么用ca，而不用

由椭圆的概念，a，c是确定椭圆的基本量，

ca

我们来通过动画直观感受一下

a?不变

c?越大，

反之，c越小，

当且仅当c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为x2

我们把椭圆的焦距与长半轴长的比ca称为椭圆的离心率，用e表示，即e=ca.因为a?c?0,所以0e1

问题6：你能描述离心率的变化与椭圆的扁平程度的关系吗？

因为a?c?0,所以0e1.

e越接近1，c越接近a?，b=a2

反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a?，这时椭圆就越接近于圆.

ba

问题7：你能运用三角函数的知识解释，为什么e=ca越大，椭圆