主成分分析法实例.docxVIP

1、主成分法：

用主成分法寻找公共因子的方法如下：

假定从相关阵出发求解主成分，设有p个变量，则可找出p个主成分。将所得的p个主成分按由大到小的顺序排列，记为Y1,y2，…，YP，则主成分与原始变量之间存在如下关系：

丫1

11X1

12X2 ...

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丫2

21X1

22X2 ..

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Yp

p1X1

p2X2 .

X.. pp八p

式中，j为随机向量X的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因

为特征向量之间彼此正交，从X到Y得转换关系是可逆的，很容易得出由Y到X得转换关系为：

X1

11丫1

21丫2 ...

p11p

X2

12丫

22丫2 ...

p2Yp

Xp

1pY

2pY2 ...

Y

ppp

对上面每一等式只保留钱m个主成分而把后面的部分用 i代替，则上式变

为：

X1

11Y

21丫2 ...

m1丫m

1

X2

12Y1

22丫？...

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2

Xp

1pY

2pY2 ...

Ymp1m

p

上式在形式上已经与因子模型相一致， 且Y(i=1,2,…，m)之间相互独立,且Y与i之间相互独立，为了把Y转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把

主成分Y变为方差为1的变量。为完成此变换，必须将Y除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根厂。于是,令FY/厂，\T~\1,/；2，...，Jmm,则式子变为：

XiX2aiF1a21F1a12

Xi

X2

aiF1

a21F1

a12F2

a22F2

aimFm

a2mFm

ap2F2

apmFm

这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷 A矩阵和初始公因子（未旋

转）。

—般设A为样本相关矩阵R的特征根，1,2,...,p为对应的标准正交化特征向量。设mp，则因子载荷矩阵A的一个解为：

共同度的估计为：

2 2 2 2

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卜面用主成分法分析以下数据:

A

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