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基于波利亚数学解题思想的数学创课设计

作者：唐剑岚冯耀庆

来源：《中小学课堂教学研究》2018年第02期

【摘要】解题学习是数学学习的主要任务。承接本专题的系列研究，本文以2017年高考

理科数学全国卷Ⅰ第21题为例，尝试运用波利亚数学解题的基本思想进行数学解题创课设

计，期待为优化中学数学解题的教学设计或数学解题创课设计提供理论与实践参考。

【关键词】波利亚数学解题思想；解题表；数学解题创课；导数；零点

解题教学是数学教学的主要任务，是培养学生核心素养的重要载体。而中学数学解题教学

不乏“教师题海讲解，学生题海训练”的现象。这种教师累、学生苦、效益差的教学模式难以实

现“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”。因此，提效解题教学，使师生脱离“题海战术”一直是中

学数学教学的现实诉求。承接本专题的系列研究，本文以2017年高考理科數学全国卷Ⅰ第21

题为例，尝试运用波利亚数学解题的基本思想进行数学解题创课设计，期待为优化中学数学解

题的教学设计或设计数学解题创课提供理论与实践参考。

一、波利亚数学教育基本思想的概述

美籍匈牙利著名数学家、数学教育家乔治波利亚·在数学和数学教育方面有着精深的造

诣。他的数学教育思想及应用主要体现在《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现——对解

题的理解、研究和讲授》这三本著作中，特别是《怎样解题》一书，著名数学家瓦尔登曾给予

高度评价，认为每个大学生、每个学者，特别是每位教师都应该读这本引人入胜的书。波利亚

的数学教育思想非常丰富，这里用“一个理念、两大原理、三大原则、四个阶段”概述波利亚数

学解题的基本思想[1]。

一是指“树立一个理念”。波利亚认为，数学教育的主要目的之一就是发展学生解决问题的

能力，教会学生思考。

二是指“遵循两大原理”。波利亚指出，数学教学应该遵循两大基本原理：理解数学和理解

学生。其中，教师对数学理解的程度深刻制约了教师教给学生什么样的数学。教师对学生学习

数学心理的有效把握是提高数学教学有效性的基本条件。

三是指“把握三条原则”。波利亚认为，有效的数学教学需要把握三条原则：主动学习原

则、最佳动机原则和循序渐进原则。主动学习原则是指学习的最好途径是学生亲自发现它，并

养成自主学习的习惯。最佳动机原则要求教师尽可能激发学生的求知欲望，使学生的学习动机

处于最佳状态，培养学生的兴趣与探索的习惯。循序渐进原则是指数学教学一般遵循“直观探

索→数学阐明→[JP3]具体应用→形成结构”这样循序渐进的学习过程。

四是指波利亚的“解题表”中的解题四部曲：弄清问题→拟订计划→实现计划→回顾检验。

弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；实现计划是为了在引发之后实现

它；回顾检验是试图更好地利用它。解题表的四部曲是暗示解题思维的“提示语集合”或“自我

提问的提问链”，是培养学生从“解题”到“学会解题”的“神器”[2]。

弄清问题，也就是平常说的审题，它是成功解题的必要前提，常采用“已知是什么？未知

是什么？条件充分吗？是否将条件分开讨论？是否可以画个草图，引入适当的符号？”等一系

列辅助理解题意的自我提问。

拟定计划，也就是找出已知和未知之间的联系，常采用诸如“你见过这道题或与之类似的

题吗？能联想起有关的定理或公式吗？”等一系列自我提问。

实现计划，要求在实现的同时检验每一步，判断或证明每一步的正确性，是否合乎逻辑

等，常采用诸如“书写正确吗？每一步都有依据吗？”等一系列自我提问。

回顾检验，也就是检查结果并验证其正确性，进一步可以换一种方法做这道题，或者尝试

把结果和方法用到其他问题上。

波利亚的解题表的提示或提问很多，学生在应用时不能生搬硬套，贵在灵活应用，具体问

题具体分析。一般在审题时抓住关键“三问”[3]：已知、未知是什么？隐藏和关键信息是什么？

你能画张图，引进适当的符号吗？在计划时抓住关键“三问”：你见过相似的问题吗？它可否转

化成相似的问题？你能否回到学过的定义、定理或性质中寻找类似信息？在解题时抓住关键

“三问”：你的书写规范吗？你是否考虑了所有情况？你能否检验这一步？在回顾时抓住关键

“三问”：我还能怎样解（能一题多解吗）？它可否变一变（能一题多变吗）？能否拓展（能一

题多用吗？能归纳解题用到的知识、方法与思想，迁移解决更多的问题吗）？

二、基于波利亚解题思想的数学解题创课设计案例

（一）数学解题案例的基本